Definitheit von 2x2 Matrizen und der Satz von Hurwitz...

23.09.2011, 15:39	FlockyRocky	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitheit von 2x2 Matrizen und der Satz von Hurwitz... Meine Frage: Ich habe eine eigenltich sehr simple Frage zur Definitheit von (2x2)-Matrizen, die mich jetzt zwei Tage vor einer Klausur doch etwas aus dem Konzept bringt, weil es mir scheint, hier einen Widerspruch zu haben. Ich hoffe es liegt nicht nur daran, dass ich vor lauter Matrizen hier und Vektoren die Determinante falsch berechne oder ähnliches :-( In einer Altklausur ist folgende Frage gestellt: Die durch die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ definierte quadratische Form ist (1) positiv definit (2) negativ definit (3) indefinit (4) positiv semidefinit, aber nicht positiv definit (5) negativ semidefinit, aber nicht negativ definit Meine Ideen: Ich habe jetzt hier recht stumpf, den Satz von Hurwitz in Betracht gezogen: Satz (2x2): Eine 2x2 Matrix, A der Form $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist genau dann positiv definit, wenn sowohl a>0 als auch det(A)>0 gilt. Sie ist negativ definit, wenn sowohl a<0 als auch det(A)>0 gilt. Sie ist indefinit, wenn gilt det(A)<0. Den Satz gibt es natürlich dann als Verallgemeinerung über die führenden Hauptminoren für p x p - Matrizen. Hab ich einen Knick in der Optik oder müsste die oben genannte Determinante nach dem Satz nicht eindeutig positiv definit sein? a ist in diesem Fall 1, also ja wohl größer als 0. ^^ Desweiteren sollte $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ ja (11)-(-13)=4 sein, richtig? Die Lösung behauptet, Antwort (4) sei richtig. Kann da jemand meinen Fehler ausbügeln? Ich bin mir sicher, dass ich gerade wie gesagt vor lauter Bäumen den Wald nicht sehe ;-) Viele Grüße und ein herzliches Dankeschön!
23.09.2011, 15:42	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Hurwitzkriterium in der Form gilt nur für symmetrische Matrizen. Für deine Matrix nutze folgende Aussage : Eine quadratische Matrix A ist genau dann positiv Definit wenn $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}(A + A^T) \end{eqnarray}$ positiv definit ist. (Anolog für die anderen Definitheiten) Letztere Matrix ist symmetrisch und die entsprechenden Kriterien gelten.
23.09.2011, 15:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Kriterium setzt eine symmetrische Matrix voraus, was wir hier aber nicht haben. EDIT: Nachschlagen hat zu lang gedauert. Bin dann raus.
23.09.2011, 15:57	FlockyRocky	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, vor lauter Bäumen... ;-) So ist das, wenn man zu schnell liest... Beim genauen hinschauen, ist die abgebildete Matrix natürlich der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dankeschön für die extrem schnelle Antwort und vielleicht bis bald ;-)

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