Eigenwerte

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Black Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte
Für einen anderen Beweis brauch ich das Resultat dass die Eigenwerte von mit immer und sind

Habs per Induktion versucht, komme aber beim IS nicht so recht weiter.

Hab mir als Blockmatrix geschrieben : wobei ,

Ich kenn mich leider mit Blockmatrizen nicht gut aus, gibt es dort irgendwelche Tricks die mir hier weiterhelfen können?
Oder bin ich hier mit Induktion gar völlig falsch?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Es mag an der vorgerückten Stunde liegen, aber ich krieg für n=2 als Eigenwerte.

Deine Blockmatrizen halte ich hier für nicht sonderlich zielführend, da A keine quadratische Matrix ist und somit kein det(A) existiert.

Gehe jetzt aber erstmal schlafen.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist , wobei A die Matrix ist, die nur aus 1en besteht.

Wenn man die Eigenwerte von A kennt, kennt man auch die von .

Die von A sind aber recht leicht zu sehen.

Wegen , ist 0 n-1-facher Eigenwert (geometrische Vielfachheit).

Nun ist ein weiterer Eigenvektor gegeben durch .

Und da wir wissen, dass wir nicht in einem endlichen Körper sind, ist damit auch ein zweiter Eigenwert gefunden, der dann nur noch die Vielfachheit 1 haben kann.

Damit sind alle geometrischen und algebraischen Vielfachheiten bestimmt.

Es ergibt sich dann, dass einer deiner beiden Eigenwerte nicht ganz richtig war.
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja tatsächlich, hab mich beim ersten vertippt, es müsste natürlich und sein.

Zitat:
Original von tmo


Nun ist ein weiterer Eigenvektor gegeben durch .



Okay, und woher weiß man das? Und zu welchem Eigenwert ist dann der Eigenvektor?


Zitat:
Original von tmo
Und da wir wissen, dass wir nicht in einem endlichen Körper sind, ist damit auch ein zweiter Eigenwert gefunden, der dann nur noch die Vielfachheit 1 haben kann.


Und wie ich finde ich heraus was für ein konkreter Eigenwert das ist? Ich weiß zwar dass es n sein muss, aber wie beweist man jetzt das?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Black
Oh ja tatsächlich, hab mich beim ersten vertippt, es müsste natürlich und sein.

Zitat:
Original von tmo


Nun ist ein weiterer Eigenvektor gegeben durch .



Okay, und woher weiß man das? Und zu welchem Eigenwert ist dann der Eigenvektor?

Betrachte mal die Zeilensummen deiner Matrix
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt die Zeilensumme stimmt mit dem 2. Eigenwert überein, aber wieso?

Kann mich beim besten Willen nicht an irgendeine Aussage in die Richtung erinnern traurig
 
 
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Man braucht doch nicht für alles eine Aussage aus der Vorlesung. Ein bisschen logisches Denken hilft da manchmal schon:

Es sei v der Vektor, der in jedem Feld die entsprechende Zeilensumme einer Matrix A hat und wenn diese alle gleich sind, kann ganz leicht auf einen Eigenwert/Eigenvektor von A schließen:



Das heißt, die Zeilensummen sind nichts anderes als eine Multiplikation mit dem Einser-Vektor.
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Ach du meine Güte, da hab ich ja viel zu kompliziert gedacht. Ich wollte die ganze Zeit übers char. Polynom gehen, dabei brauchts ja eigentlich nur die Definition von Eigenvektor.

Vielen Dank euch dreien für die Hilfe, dann kann ich mich jetzt endlich dem eigentlichen Problem widmen smile
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