Vektorfeld auf RP^2

24.09.2011, 09:48

xlynax

Vektorfeld auf RP^2

Meine Frage:
Hallo,
ich brauche Hilfe bei der folgenden Frage in Differentialgeometrie.
Gegeben ist eine Karte auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R P^2 \end{eqnarray*}$ durch
$\begin{eqnarray*} \left[x,y,z\right] -> \left(w_{1}, w_{2} \right) = \left(\frac{y}{x},\frac{z}{x} \right) x\neq 0 \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass ein Vektorfeld existiert, welches die Koordinatendarstellung $\begin{eqnarray*} w_{1}\frac{d}{dw_{1}} - w_{2}\frac{d}{dw_{2}} \end{eqnarray*}$ hat.

Meine Ideen:
Ich weiß gar nicht so richtig, wie ich da rangehen soll.
Im Skript steht, dass man ein Vektorfeld X darstellen kann als $\begin{eqnarray*} X(p)=\sum\limits_{k=1}^n X_{i} (p)\frac{d}{d x_{i}} (p) \end{eqnarray*}$ .
In meinem Fall sind doch die $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} w_{i} \end{eqnarray*}$ und n=2, oder? Muss ich also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} X_{1}= w_{1} , X_{2}= - w_{2} \end{eqnarray*}$ sein kann? Ich verstehe nicht, warum es kein Vektorfeld geben sollte, welches die Gleichung erfüllt.
Mir ist auch irgendwie nicht richtig klar, wie ich $\begin{eqnarray*} \frac{d}{d w_{i}} (p) \end{eqnarray*}$ berechnen soll, wenn ich keine Funktion gegeben habe.
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!

24.09.2011, 17:55

gonnabphd

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Hi,

Deine Karte überdeckt ja nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb RP^2 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} [0,1,1] \end{eqnarray*}$ ist nicht in deiner Karte (das ist auch der einzige Punkt, der nicht enthalten ist).

Es ist klar, dass man das gewünschte Vektorfeld mit der Kartendarstellung im Bild der Karte, also auf $\begin{eqnarray*} \mathbb RP^2 \setminus \{[0,1,1]\} \end{eqnarray*}$ definieren kann. Die Frage ist nun aber, ob man dieses Vektorfeld auch auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb RP^2 \end{eqnarray*}$ fortsetzen kann?

Ein illustrierendes Beispiel: Das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} X = \frac{1}{y} \frac{\partial}{\partial x}-\frac1x \frac{\partial}{\partial y} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ existiert, kann aber nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ fortgesetzt werden.

24.09.2011, 21:25

xlynax

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Danke für deine Antwort.
Also muss ich untersuchen, ob man das Vektorfeld bei $\begin{eqnarray*} \left[0,1,1\right] \end{eqnarray*}$ fortsetzen kann?
Komisch, so etwas haben wir gar nicht gemacht und im Skript ist auch nichts dazu zu finden.
Heißt das, dass ich für $\begin{eqnarray*} \left[0,1,1\right] \end{eqnarray*}$ eine eigene Definition des Vektorfelds finden muss?

24.09.2011, 22:00

gonnabphd

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Zitat:

Heißt das, dass ich für $\begin{eqnarray*} \left[0,1,1\right] \end{eqnarray*}$ eine eigene Definition des Vektorfelds finden muss?

Ja, ich denke schon. (Und dann nachweisen, dass dies auch tatsächlich ein differenzierbares Vektorfeld auf $\begin{eqnarray*} RP^2 \end{eqnarray*}$ definiert)

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