Geometrische Folgen und Reihen

24.09.2011, 12:11

annawald

Geometrische Folgen und Reihen

Hi
Ich komme bei einem Beispiel nicht weiter und zwar lautet die Angabe:

Angenommen, die Anzahl der Seerosen auf einem Teich verdoppelt sich jeden Tag. Am Ende des ersten Tages befindet sich nur eine Seerose auf dem Teich; am Ende des 30.Tages ist der Teich vollständig mit Seerosen bedeckt. Wann ist
a) die Hälfte,
b) ein Viertel
c) ein Achtel des Teichs bedeckt?

Die Lösung ist klar, da es logisch ist und zwar sind es bei a) 29, bei b)28 und bei c) 27 Seerosen, doch ich komme einfach nicht auf den Ansatz der Berechnung.
Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
Viele Dank

Liebe Grüße,
Anna

24.09.2011, 12:58

Cel

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Hallo,

es wird dir helfen, die Funktionsvorschrift auszurechnen, die die Anzahl der Rosen angibt.

Sei $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Rosen am Ende des x-ten Tages.

Wir brauchen eine Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = c \cdot a^x \end{eqnarray*}$ .

So, was weißt du? Du weißt etwas über f(1) und du kennst eine der beiden Größen a oder c. Welche?

Edit: Übrigens, was hat das mit geometrischen Folgen zu tun?

24.09.2011, 16:04

annawald

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Zitat:

Die Lösung ist klar, da es logisch ist und zwar sind es bei a) 29, bei b)28 und bei c) 27 Seerosen, doch ich komme einfach nicht auf den Ansatz der Berechnung.

edit: ich meinte Tage, nicht Seerosen

____

geht das nicht irgendwie mit der formel

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_{n} *q \end{eqnarray*}$

das mit der Funktion habe ich noch nicht gelernt...

24.09.2011, 19:19

Cel

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Kann man auch machen. Aber mit der rekursiven Darstellung können wir nicht viel anfangen, wir brauchen die explizite.

Machen wir das mal in der Form $\begin{eqnarray*} a_n = a_0 \cdot q^{n-1}, \, n = 1, 2, \dots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ ist der Anfangsbestand, wie hoch also? Und wie groß ist q?

24.09.2011, 21:04

annawald

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$\begin{eqnarray*} a_{0} = 1 \end{eqnarray*}$

naja, da sich die Anzahl immer verdoppelt ist $\begin{eqnarray*} a_{n} = n² \end{eqnarray*}$ , oder?
deswegen hätte ich gesagt rekursiv..wie geht das denn nun wirklich.ich komme einfach nicht darauf..
wie ich auf q komme, weiss ich nicht.. unglücklich

25.09.2011, 18:01

Cel

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Also, ich habe oben noch was verändert, da stand einmal i statt n.

$\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$ , genau.

Aber $\begin{eqnarray*} a_n=n^2 \end{eqnarray*}$ kann nicht stimmen, denn dort bekommt man die Folge 1, 4, 9, ... heraus.

Wir wollen die Folge 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Gut, wenn wir den Anfangsbestand einarbeiten, sieht unsere Folge so aus:

$\begin{eqnarray*} a_n = q^{n-1} \end{eqnarray*}$

Das q bekommst du, indem du jetzt mal einige der Folgenglieder aufschreibst:

$\begin{eqnarray*} a_1 = q^0 \stackrel{!}{=} 1 \, \checkmark \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2 = \dots \stackrel{!}{=}2 \end{eqnarray*}$

Und wenn du das hast, dann rechne mal den Bestand am Ende des 30. Tages aus, also $\begin{eqnarray*} a_{30} \end{eqnarray*}$ . Das halbieren wir und lösen die Gleichung $\begin{eqnarray*} a_n = \text{ Hälfte des Endbestandes } \end{eqnarray*}$ .

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