Integralrechnung

24.09.2011, 12:24

Acacia

Integralrechnung

Hallo zusammen, habe ein verständnisproblem, unzwar:

angenommen ich möchte die Fläche unter der e-Kurve zwischen 0 und 2 bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! e^x \, dx = \left[e^x+c\right]_{0}^{2} = e² - e^0 = e² - 1 \end{eqnarray*}$

e² ist der Flächeninhalt unter der e-kurve von minus-unendlich bis 2

und davon zieht man den Flächeninhalt von minus-unendlich bis 0 ab (der ja 1 beträgt)

Wenn ich jetzt den Flächeninhalt unter einer konstanten funktion berechnen möchte, z.b.:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! 5 \, dx = \left[5x+c\right]_{0}^{2} = 10 - 0 \end{eqnarray*}$

dann wäre der Flächeninhalt von minus-unendlich bis 0 gerade 0, was ja nicht sein kann.
oder hat das was mit der Integrationskonstanten zu tun?
oder ist meine Interpretation mit dem "von minus-unendlich" falsch?

Gruß Tom

24.09.2011, 13:33

Pascal95

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Ja, die Interpretation "von minus-unendlich" ist falsch Augenzwinkern

Du schreibst ja selber, dass man von 0 ab beginnt, wie man es normalerweiße auch tut.

24.09.2011, 13:36

Acacia

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Zitat:

Original von Pascal95
Ja, die Interpretation "von minus-unendlich" ist falsch Augenzwinkern

Du schreibst ja selber, dass man von 0 ab beginnt, wie man es normalerweiße auch tut.

danke

und wieso hat man dann bei der e-funktion bei der Grenze 0 schon einen Flächeninhalt von 1?

24.09.2011, 13:44

Pascal95

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Ich verstehe deine Frage nicht.

Man braucht immer 2 Grenzen. Welches ist dann die andere Grenze, wenn du von einer Grenze bei 0 sprichst ?

24.09.2011, 19:08

Acacia

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Zitat:

Original von Pascal95
Ich verstehe deine Frage nicht.

Man braucht immer 2 Grenzen. Welches ist dann die andere Grenze, wenn du von einer Grenze bei 0 sprichst ?

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! e^x \, dx = \left[e^x+c\right]_{0}^{2} = e² - e^0 = e² - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! 5 \, dx = \left[5x+c\right]_{0}^{2} = 10 - 0 \end{eqnarray*}$

also bei der konstanten funktion ist der flächeninhalt bis zur Grenze 0 eben 0. logisch, weil man ja auch von 0 anfängt zu integrieren.

aber bei der e-funktion ist der Flächeninhalt bei der Grenze 0 eben 1.

und das finde ich sehr komisch, weiß nicht wie ich das interpretieren soll.

24.09.2011, 19:13

Pascal95

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Zitat:

Original von Acacia
aber bei der e-funktion ist der Flächeninhalt bei der Grenze 0 eben 1.

Linke oder rechte Grenze ?

Und dann, was ist die andere Grenze.

Man braucht schon beide Grenzen (wie ich schon vorhin bemerkt habe)...

25.09.2011, 18:17

Acacia

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ich versuch mal mein problem hierdran zu verdeutlichen:

$\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! 5 \, dx = \left[5x+c\right]_{2}^{3} = 15 - 10 = 5 \end{eqnarray*}$

berechnet den Flächeninhalt unter dem graphen (angefangen von der y-achse) bis x=3 und subtrahiert den Flächeninhalt unter dem Graphen von der y-achse bis x=2

die 15 sind also der Flächeninhalt unter dem Graphen zwischen x=0 und x=3
die 10 sind der Flächeninhalt unter dem Graphen zwischen x=0 und x=2

der Flächeninhalt zwischen x=2 und x=3 beträgt demnach 15 - 10 = 5 [FE]

soo, wenn ich ab der Grenze x= 0 anfange:
$\begin{eqnarray*} \int_0^3 \! 5 \, dx = \left[5x+c\right]_{0}^{3} = 15 - 0 = 15 \end{eqnarray*}$
dann ist der Flächeninhalt unterm Graphen von x=0 bis x=3 15 und von x=0 bis x=0 eben 0

insgesamt also 15 - 0 = 15

soweit bin ich doch richtig, oder? weil jetzt kommt mein verständnis problem:

möchte ich den Flächeninhalt unter der e-funktion von x=0 bis x=2 bestimmen, rechne ich ja:
$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! e^x \, dx = \left[e^x+c\right]_{0}^{2} = e² - e^0 = e² - 1 \end{eqnarray*}$

und hier ist das problem. der Flächeninhalt von x=0 bis x=2 ist e², und davon ziehe ich den Flächeninhalt von x=0 bis x=0 ab, der komiger weise 1 und nicht 0 ist. Das verstehe ich nicht.

EDIT: Komplettzitat entfernt.

26.09.2011, 09:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von Acacia
$\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! 5 \, dx = \left[5x+c\right]_{2}^{3} = 15 - 10 = 5 \end{eqnarray*}$

Richtig wäre: $\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! 5 \, dx = \left[5x+c\right]_{2}^{3} = 15 + c - (10 + c) = 5 \end{eqnarray*}$

Du interpretierst den Term 10 + c als Flächeninhalt von 0 bis 2. Das stimmt aber nur für c=0. Diese Interpretation ist also generell unzulässig.

Zitat:

Original von Acacia
möchte ich den Flächeninhalt unter der e-funktion von x=0 bis x=2 bestimmen, rechne ich ja:
$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! e^x \, dx = \left[e^x+c\right]_{0}^{2} = e² - e^0 = e² - 1 \end{eqnarray*}$

und hier ist das problem. der Flächeninhalt von x=0 bis x=2 ist e², und davon ziehe ich den Flächeninhalt von x=0 bis x=0 ab, der komiger weise 1 und nicht 0 ist. Das verstehe ich nicht.

Auch hier wäre die richtige Schreibweise: $\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! e^x \, dx = \left[e^x+c\right]_{0}^{2} = e^2 + c - (e^0 + c) = e^2 - 1 \end{eqnarray*}$

Wie ich schon sagte, unterliegst mit der Aussage "e^0 ist die Fläche von Null bis Null" einer unzulässigen Interpretation. In diesem Fall müßtest du c=-1 wählen, damit die Aussage stimmt.

26.09.2011, 14:50

Acacia

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vielen Dank, also häng das mit der Integrationskonstanten zusammen^^

ein bisschen unwohl fühl ich mich dabei trotzdem, dass man c=-1 wählen muss, damit man die Stammfunktion von e^x erhält, die einem für ein beliebiges x0 den jeweiligen Flächeninhalt von x=0 bis x=x0 gibt.

oder kennst du dafür eine gute bzw. bessere interpretation? smile

Gruß

26.09.2011, 15:24

klarsoweit

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Wieso unwohl? Wenn du für die Funktion f(x) eine Flächeninhaltsfunktion G(x) haben möchtest mit G(0) = 0, dann ist eben $\begin{eqnarray*} G(x) = \int_0^x~f(u)~du = F(x) - F(0) \end{eqnarray*}$ , wobei F(x) eine beliebige Stammfunktion ist. Es sind aber sowohl G(x) als auch F(x) Stammfunktionen von f(x), die sich lediglich um eine Konstante (nämlich F(0)) unterscheiden.

28.09.2011, 18:13

Acacia

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wieso unwohl? Wenn du für die Funktion f(x) eine Flächeninhaltsfunktion G(x) haben möchtest mit G(0) = 0, dann ist eben $\begin{eqnarray*} G(x) = \int_0^x~f(u)~du = F(x) - F(0) \end{eqnarray*}$ , wobei F(x) eine beliebige Stammfunktion ist. Es sind aber sowohl G(x) als auch F(x) Stammfunktionen von f(x), die sich lediglich um eine Konstante (nämlich F(0)) unterscheiden.

Vielen Dank Augenzwinkern

ich denke ich habe jetzt endlich alles verstanden smile

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