Extrempunkt (notwendige, hinreichende Bedingung) |
24.09.2011, 13:42 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Extrempunkt (notwendige, hinreichende Bedingung) ich frage mich, ob folgende hinreichende Bedingung für Extremstellen auch notwendig ist: Für mich ist klar und einleuchtend, dass diese Bedingung hinreichend ist, doch ist diese auch immer notwendig ? Das heißt: Gibt es eine Funktion , sodass Extremstelle ist, aber ? Wenn dem nicht so wäre, könnte man ja die o.g. Implikation als Äquivalenz ansehen. Vielen Dank, |
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24.09.2011, 14:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extrempunkt (notwendige, hinreichende Bedingung)
Klar gibt es die. Hast du dir mal die Funktion angesehen? |
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24.09.2011, 14:17 | Joe91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f(x) = x^4 f'(x) = 4x^3 f''(x) = 12x^2 An der Stelle x0 = 0 hast du jetzt in der 2. Ableitung den Wert 0. Trotzdem hat die Funktion eine Extremstelle bei x0 = 0 Hier müsste man dann also den Vorzeichentest machen. Also wenn du eine Funktion hast, die bei jeder Ableitung (bzw bis zur 2. Ableitung) an der Stelle x0 0 ergibt, ist diese hinreichende Bedingung nicht einsetzbar. Eine andere Ausnahme fällt mir allerdings grad nicht ein, ich bin aber selbst auch noch (unwissender) Schüler, das soll also nichts heißen Edit: Da war wohl jemand schneller |
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24.09.2011, 14:38 | Christian_P | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mein "schlaues" Buch sagt Folgendes Drei Fälle werden unterschieden. a) hinreichend (aber nicht notwendig) b) notwendig (aber nicht hinreichend) c) notwendig und hinreichend a) Die Bedingung A ist hinreichend für den Sachverhalt B genau dann, wenn die Wahrheit von A die Wahrheit von B nach sich zieht, wenn also gilt: A heißt die Voraussetzung (Prämisse) und B die Behauptung (Conclusio) des Satzes wenn A, so B. Die Behauptung B gilt immer dann, wenn A erfüllt ist. b) Die Bedingung C ist notwendig für den Sachverhalt D genau dann, wenn die Falschheit von C die Falschheit von D nach sich zieht, wenn also gilt wenn nicht C, so nicht D. Dieser Satz ist aber logisch gleichwertig mit . Es gilt D also nur dann, wenn C gilt. Wenn C eine notwendige Bedingung für D ist, so ist D eine hinreichende Bedingung für C. c) Die Bedingung E ist notwendig und hinreichend für F genau dann, wenn gilt: (wenn E, so F) und (wenn F, so E). Diese Aussagenverbindung ist gleichwertig mit . Die Behauptung F ist dann und nur dann wahr, wenn E erfüllt ist. Die Implikation ist umkehrbar, d.h., es gilt auch , wenn A notwendig und hinreichend für B ist. logisches Kauderwelsch |
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24.09.2011, 15:22 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, ok, tatsächlich. Danke sehr Hier müsste man dann auf Vorzeichenwechsel prüfen. Auf der Seite hier finde ich folgendes:
Hier ist das Problem ja wieder, dass nicht zwingend impliziert... Oder sehe ich das falsch ? |
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24.09.2011, 15:58 | Joe91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Haben wir nicht gerade gezeigt, dass sie 0 sein darf und der Punkt ist trotzdem eine Extremstelle? (f(x) = x^4) Es handelt sich ja nur um eine hinreichende Bedingung, was nun mal nicht den Umkehrschluss zulässt "Die zweite Ableitung muss ungleich 0 sein, damit eine Extremstelle vorliegt". Der Fehler liegt hier:
Das ist nicht zwingend. Man muss dann die 3. Ableitung bzw Vorzeichenwechsel-Test ranziehen, um das zu überprüfen. Es muss sich nicht um ein Extremum handeln, sondern kann sich auch um eine Wendestelle handeln. Bei x^4 sieht man das wieder gut: 4x^3 ist die erste Ableitung und sie hat keine Extremstellen, nur einen Wendepunkt an besagter Stelle. Obwohl die 2. Ableitung an dieser Stelle 0 ist. Aber abgesehen von diesem Sonderfall, dass die 1. und 2. Ableitung 0 sind, ist das richtig und du hast denke ich soweit alles richtig verstanden. |
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24.09.2011, 16:01 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, dann habe ich das richtig verstanden. Es ging in dem Auszug schließlich um die hinreichende Bedingung. |
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24.09.2011, 16:09 | Christian_P | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich sehe das so: notwendige Bedingung (nicht umkehrbar) notwendige und hinreichende Bedingung (umkehrbar) |
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24.09.2011, 16:17 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt ja gerade nicht. Ein Gegenbeispiel liefert die Funktion . Es ist klar bei ein Extremum. Dann wäre nach
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24.09.2011, 21:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie Pascal schon sagte, es gilt nur in x_0 ist ein Extremum. |
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25.09.2011, 12:22 | Christian_P | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aaaah jaa.... dann ist es doch nur eine hinreichende Bedingung, hinreichend, aber nicht notwendig. Mich würde mal interessieren: Die zweite Ableitung beschreibt die Änderungsrate der Steigung, wenn man die geometrische Anschauung zugrunde legt. Ist es dann nicht so, dass im Falle der Funktion y=x^4, sich im Punkt (0/0) die Steigung momentan nicht ändert, so wie dies in einem Terrassenpunkt der Fall ist? lg, Christian |
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26.09.2011, 09:18 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So gesehen schon. Notwendig ist nur, daß f'(x_0) = 0 ist.
Ja, das ist so. |
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26.09.2011, 15:33 | Christian_P | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die Info. Das finde ich echt faszinierend. Wenn man sich die Funktion y=x^4 anschaut hat man, finde ich, den Eindruck, dass die Kurve sich zum Ursprung hin sehr abflacht. Dies wird umso extremer, je höher der Grad der Funktion wird (x^6,x^8, ..., x^2n). Bsp. y=x^8 |
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26.09.2011, 15:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das mag ja sein, das ändert aber nichts daran, daß im Nullpunkt ein lokales Minimum ist. |
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26.09.2011, 15:42 | Christian_P | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wer sagt das? Das würde ich gern exakt bewiesen haben! |
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26.09.2011, 15:52 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist f(0)=0 und f(x) > 0 für alle x ungleich Null. Quasi ein Einzeiler. |
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26.09.2011, 16:05 | Christian_P | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist das so einfach... |
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