Extrempunkt (notwendige, hinreichende Bedingung)

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Extrempunkt (notwendige, hinreichende Bedingung)
Hallo,

ich frage mich, ob folgende hinreichende Bedingung für Extremstellen auch notwendig ist:



Für mich ist klar und einleuchtend, dass diese Bedingung hinreichend ist, doch ist diese auch immer notwendig ?

Das heißt:
Gibt es eine Funktion , sodass Extremstelle ist, aber ?

Wenn dem nicht so wäre, könnte man ja die o.g. Implikation als Äquivalenz ansehen.


Vielen Dank,
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrempunkt (notwendige, hinreichende Bedingung)
Zitat:
Original von Pascal95
Das heißt:
Gibt es eine Funktion , sodass Extremstelle ist, aber ?

Klar gibt es die. Hast du dir mal die Funktion angesehen? Augenzwinkern
Joe91 Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) = x^4
f'(x) = 4x^3
f''(x) = 12x^2

An der Stelle x0 = 0 hast du jetzt in der 2. Ableitung den Wert 0.
Trotzdem hat die Funktion eine Extremstelle bei x0 = 0
Hier müsste man dann also den Vorzeichentest machen.

Also wenn du eine Funktion hast, die bei jeder Ableitung (bzw bis zur 2. Ableitung) an der Stelle x0 0 ergibt, ist diese hinreichende Bedingung nicht einsetzbar.

Eine andere Ausnahme fällt mir allerdings grad nicht ein, ich bin aber selbst auch noch (unwissender) Schüler, das soll also nichts heißen smile

Edit: Da war wohl jemand schneller Big Laugh
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Mein "schlaues" Buch sagt Folgendes
Drei Fälle werden unterschieden.

a) hinreichend (aber nicht notwendig)
b) notwendig (aber nicht hinreichend)
c) notwendig und hinreichend



a)

Die Bedingung A ist hinreichend für den Sachverhalt B genau dann, wenn die Wahrheit von A die Wahrheit von B nach sich zieht,
wenn also gilt:
A heißt die Voraussetzung (Prämisse) und B die Behauptung (Conclusio) des Satzes wenn A, so B.
Die Behauptung B gilt immer dann, wenn A erfüllt ist.




b)

Die Bedingung C ist notwendig für den Sachverhalt D genau dann, wenn die Falschheit von C die Falschheit von D nach sich zieht,
wenn also gilt wenn nicht C, so nicht D.
Dieser Satz ist aber logisch gleichwertig mit .
Es gilt D also nur dann, wenn C gilt.
Wenn C eine notwendige Bedingung für D ist, so ist D eine hinreichende Bedingung für C.




c)

Die Bedingung E ist notwendig und hinreichend für F genau dann, wenn gilt: (wenn E, so F) und (wenn F, so E).
Diese Aussagenverbindung ist gleichwertig mit .
Die Behauptung F ist dann und nur dann wahr, wenn E erfüllt ist. Die Implikation ist umkehrbar, d.h., es gilt auch ,
wenn A notwendig und hinreichend für B ist.


logisches Kauderwelsch verwirrt
Big Laugh
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ok, tatsächlich.
Danke sehr smile

Hier müsste man dann auf Vorzeichenwechsel prüfen.

Auf der Seite hier finde ich folgendes:
Zitat:
Und weiterhin ist klar, dass die zweite Ableitung in der hinreichenden Bedingung nicht Null sein darf. Denn wenn die zweite Ableitung Null ist, befindet sich in der ersten Ableitung ein Extremum, was Nullstelle zur ersten Ableitung ist und somit würde sich die Steigung der Funktion nicht ändern und es würde sich deshalb nicht um einen Extrempunkt handeln.


Hier ist das Problem ja wieder, dass nicht zwingend impliziert...

Oder sehe ich das falsch ?
Joe91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und weiterhin ist klar, dass die zweite Ableitung in der hinreichenden Bedingung nicht Null sein darf.

Haben wir nicht gerade gezeigt, dass sie 0 sein darf und der Punkt ist trotzdem eine Extremstelle? (f(x) = x^4)

Es handelt sich ja nur um eine hinreichende Bedingung, was nun mal nicht den Umkehrschluss zulässt "Die zweite Ableitung muss ungleich 0 sein, damit eine Extremstelle vorliegt".

Der Fehler liegt hier:
Zitat:
wenn die zweite Ableitung Null ist, befindet sich in der ersten Ableitung ein Extremum

Das ist nicht zwingend. Man muss dann die 3. Ableitung bzw Vorzeichenwechsel-Test ranziehen, um das zu überprüfen. Es muss sich nicht um ein Extremum handeln, sondern kann sich auch um eine Wendestelle handeln.
Bei x^4 sieht man das wieder gut: 4x^3 ist die erste Ableitung und sie hat keine Extremstellen, nur einen Wendepunkt an besagter Stelle. Obwohl die 2. Ableitung an dieser Stelle 0 ist.

Aber abgesehen von diesem Sonderfall, dass die 1. und 2. Ableitung 0 sind, ist das richtig und du hast denke ich soweit alles richtig verstanden.
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dann habe ich das richtig verstanden.

Es ging in dem Auszug schließlich um die hinreichende Bedingung.
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

ich sehe das so:


notwendige Bedingung (nicht umkehrbar)






notwendige und hinreichende Bedingung (umkehrbar)

Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt ja gerade nicht.

Ein Gegenbeispiel liefert die Funktion .

Es ist klar bei ein Extremum.

Dann wäre nach
Zitat:
Original von Christian_P
notwendige und hinreichende Bedingung (umkehrbar)
auch (ok, das stimmt) und auch , was offensichtlich nicht stimmt...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Christian_P
notwendige und hinreichende Bedingung (umkehrbar)


Wie Pascal schon sagte, es gilt nur in x_0 ist ein Extremum.
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

aaaah jaa.... dann ist es doch nur eine hinreichende Bedingung,
hinreichend, aber nicht notwendig.

Mich würde mal interessieren:
Die zweite Ableitung beschreibt die Änderungsrate der Steigung, wenn man die geometrische Anschauung zugrunde legt.
Ist es dann nicht so, dass im Falle der Funktion y=x^4, sich im Punkt (0/0) die Steigung momentan nicht ändert, so wie dies in einem Terrassenpunkt der Fall ist?


lg,
Christian
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Christian_P
aaaah jaa.... dann ist es doch nur eine hinreichende Bedingung,
hinreichend, aber nicht notwendig.

So gesehen schon. Notwendig ist nur, daß f'(x_0) = 0 ist.

Zitat:
Original von Christian_P
Ist es dann nicht so, dass im Falle der Funktion y=x^4, sich im Punkt (0/0) die Steigung momentan nicht ändert, so wie dies in einem Terrassenpunkt der Fall ist?

Ja, das ist so.
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Info.
Das finde ich echt faszinierend.
Wenn man sich die Funktion y=x^4 anschaut hat man, finde ich, den Eindruck,
dass die Kurve sich zum Ursprung hin sehr abflacht.
Dies wird umso extremer, je höher der Grad der Funktion wird (x^6,x^8, ..., x^2n).



Bsp. y=x^8
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das mag ja sein, das ändert aber nichts daran, daß im Nullpunkt ein lokales Minimum ist. smile
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Das mag ja sein, das ändert aber nichts daran, daß im Nullpunkt ein lokales Minimum ist. smile

Wer sagt das?
Das würde ich gern exakt bewiesen haben! smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist f(0)=0 und f(x) > 0 für alle x ungleich Null.

Quasi ein Einzeiler. Augenzwinkern
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

ist das so einfach... verwirrt
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