Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen

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ChrisL1988 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Hallo Leute, habe ein Problem bei folgender Aufgabenstellung:

Man beweise: Sind zwei Ereignisse A und B eines Ereignisraums W unabhängig, dann
sind auch und , und , sowie und unabhängige Ereignisse.

steht dabei für komplementär.



Meine Ansätze wären einmal der generelle Beweis, dass Ereignisse unabhängig sind:
oder

Somit sollte dann folgendes gelten:




Soweit, so gut, nun weiß ich noch aus den Kolmogoroff'schen Axionomen, dass ist.

Aber wie ich daraus einen Beweis bilde, weiß ich leider nicht unglücklich

Danke schon mal im Voraus und Grüße
ChrisL
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Hoffentlich erzähle ich jetzt keinen Nonsens, aber ich kenne das mit der Unabhängigkeit so:

A und B sind unabhängig, wenn

.


Edit:

Das sind deine Gleichungen, nur in symmetrischer Form.

Vielleicht kann man damit aber besser beweisen?!
 
 
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Zitat:
Original von ChrisL1988
Somit sollte dann folgendes gelten:



Soweit, so gut, nun weiß ich noch aus den Kolmogoroff'schen Axionomen, dass ist.
Diese erste Gleichung gilt immer, auch wenn die Ereignisse nicht unabhängig sind::


Entscheidend ist diese Definition der Unabhängigkeit:


Fang mal damit an, zu zeigen, dass

Das Axiom von Kolmogorow ist entscheidend.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Zitat:
Original von Math1986


Entscheidend ist diese Definition der Unabhängigkeit:




Das habe ich doch schon geschrieben.

Naja, etwas vage formuliert aber. Augenzwinkern
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Zitat:
Original von Dennis2010
Zitat:
Original von Math1986


Entscheidend ist diese Definition der Unabhängigkeit:




Das habe ich doch schon geschrieben.

Naja, etwas vage formuliert aber. Augenzwinkern
Ja, das du das geschribeben hast war mir klar, den Ansatz hattest du aber nicht egschrieben
ChrisL1988 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von ChrisL1988
Somit sollte dann folgendes gelten:



Soweit, so gut, nun weiß ich noch aus den Kolmogoroff'schen Axionomen, dass ist.
Diese erste Gleichung gilt immer, auch wenn die Ereignisse nicht unabhängig sind::


Entscheidend ist diese Definition der Unabhängigkeit:


Fang mal damit an, zu zeigen, dass

Das Axiom von Kolmogorow ist entscheidend.


Ich tue mir nur extrem schwer den Beweis mit Formeln auszudrücken.
Ich starte mal wie folgt:



Wenn man es logisch bedenkt, ist es ja klar, dass wenn B von A nicht abhängt, dass B auch nicht von dem zu A komplementären Ereignis abhängt, aber das in eine Formel zu gießen unglücklich
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Zitat:
Original von ChrisL1988
Ich tue mir nur extrem schwer den Beweis mit Formeln auszudrücken.
Ich starte mal wie folgt:



Wenn man es logisch bedenkt, ist es ja klar, dass wenn B von A nicht abhängt, dass B auch nicht von dem zu A komplementären Ereignis abhängt, aber das in eine Formel zu gießen unglücklich
Was genau ist ?

Rechne mal die andere Richtung, also fang links an:
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Darf ich mich an der Lösungssuche mal beteiligen?

Oder stört das?

Mich interessiert diese Aufgabe nämlich auch.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Zitat:
Original von Dennis2010
Darf ich mich an der Lösungssuche mal beteiligen?

Oder stört das?

Mich interessiert diese Aufgabe nämlich auch.
Schick mir ne PM mit der Rechnung, dann verwirrt dies den Themenstarter nicht
ChrisL1988 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von ChrisL1988
Ich tue mir nur extrem schwer den Beweis mit Formeln auszudrücken.
Ich starte mal wie folgt:



Wenn man es logisch bedenkt, ist es ja klar, dass wenn B von A nicht abhängt, dass B auch nicht von dem zu A komplementären Ereignis abhängt, aber das in eine Formel zu gießen unglücklich
Was genau ist ?

Rechne mal die andere Richtung, also fang links an:


Also links kann ich mit Hilfe des Axiom ersetzen:


Meinst du das mit links starten? Aber was bringt mir das dann genau?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Zitat:
Original von ChrisL1988
Also links kann ich mit Hilfe des Axiom ersetzen:


Meinst du das mit links starten? Aber was bringt mir das dann genau?
Den Ansatz meinte ich smile
Rechne da mal weiter (ausklammern und Definition der Unabhängigkeit von A und B verwenden)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe Dir eine Nachricht geschickt, aber die entspricht so ziemlich dieser Idee hier.


Also könnte ich theoretisch auch hier weiter machen Big Laugh
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Ich habe Dir eine Nachricht geschickt, aber die entspricht so ziemlich dieser Idee hier.


Also könnte ich theoretisch auch hier weiter machen Big Laugh
Nein, bitte nicht beide in diesem Thread. unglücklich
ChrisL1988 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von ChrisL1988
Also links kann ich mit Hilfe des Axiom ersetzen:


Meinst du das mit links starten? Aber was bringt mir das dann genau?
Den Ansatz meinte ich smile
Rechne da mal weiter (ausklammern und Definition der Unabhängigkeit von A und B verwenden)




Hmm... verwirrt
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Zitat:
Original von ChrisL1988


Hmm... verwirrt
Nun nutzen wir die Additivität des Wahrscheinlichkeitsmaßes:
Es ist offenbar

also ist

Versuch jetzt einfach mal, die Menge passend umzuformen.
Das ist etwas mühsam, aber versuch dich bitte selbst ein wenig daran.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe Dir noch eine Nachricht geschickt, in der ich das umgeformt habe, ist ja mit den Gesetzen für Differenzmengen nicht schwer.

Edit:

Einfach mal die Menge AUFMALEN und umformen. Nix mit Gesetzen oder so.
Das war blöd von mir.
ChrisL1988 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Unabhängigkeit von Ereignissen
Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von ChrisL1988


Hmm... verwirrt
Nun nutzen wir die Additivität des Wahrscheinlichkeitsmaßes:
Es ist offenbar

also ist

Versuch jetzt einfach mal, die Menge passend umzuformen.
Das ist etwas mühsam, aber versuch dich bitte selbst ein wenig daran.


Am ehesten hilft mir da noch das Distributivgesetz für Differenzmengen, also lege ich mal los:



Aber das führt dann ins Leere, da und eine Vereinigung mit ergibt .


--->
Habe jetzt auch noch den Tipp mit der Mengen aufzeichnen entdeckt und da scheint mir etwas ähnliches wie oben angeführt einzufallen:

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das braucht man hier aber nicht, ich dachte das auch.

Man kann die Menge noch anders umschreiben.


Du willst ja zeigen:

, also behalte das im Auge.
ChrisL1988 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Ja, das braucht man hier aber nicht, ich dachte das auch.

Man kann die Menge noch anders umschreiben.


Du willst ja zeigen:

, also behalte das im Auge.


Okay okay, also zurück zum Komplementär.
Grafisch habe ich es jetzt verstanden (auch dank der angehängten Grafik, dich ich aufgetrieben habe).

ist definitv das gleiche wie

Aber nach was das noch umzuformen geht, bin ich ratlos verwirrt
ChrisL1988 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ChrisL1988
Zitat:
Original von Dennis2010
Ja, das braucht man hier aber nicht, ich dachte das auch.

Man kann die Menge noch anders umschreiben.


Du willst ja zeigen:

, also behalte das im Auge.


Okay okay, also zurück zum Komplementär.
Grafisch habe ich es jetzt verstanden (http://mars.wiwi.hu-berlin.de/mediawiki/...eignisraum9.gif)

ist definitv das gleiche wie

Aber nach was das noch umzuformen geht, bin ich ratlos verwirrt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das ist auch wirklich kein Riesenschritt.

Wie ist denn das Komplement definiert?

Wenn Du das einmal sauber aufschreibst, dann ist es das.
ChrisL1988 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Naja, das ist auch wirklich kein Riesenschritt.

Wie ist denn das Komplement definiert?

Wenn Du das einmal sauber aufschreibst, dann ist es das.


So das Komplement noch einmal:



oder




Somit könnte man wie folgt ansetzen:

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Da bleiben ja noch ein paar andere Dinge nachzuweisen.

Aber die müssten wohl ziemlich analog funktionieren.
ChrisL1988 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Da bleiben ja noch ein paar andere Dinge nachzuweisen.

Aber die müssten wohl ziemlich analog funktionieren.


Ich muss auch noch schauen, wie ich von der Anfangsgleichung bis zur letzten komme. Habe da mittlerweile voll den Überblick verloren und werde mich morgen frisch und munter wieder der Thematik widmen und noch einmal versuchen alle 3 Aufgabenstellungen komplett durchzubeweisen. Danke schon mal für Eure Hilfe, es kann gut sein, dass ich euch morgen nochmals benötigen werde smile

Einen schönen Abend.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Dank gebührt allein Math1986.

Ich habe zum Schluss lediglich Dir erklärt, was er mir nahe gebracht hat.

Okay, bis dann!



Poste es einfach bei Interesse.
ChrisL1988 Auf diesen Beitrag antworten »

So, habe mir nun die Mühe gemacht, die beiden ersten Aufgabenstellungen noch einmal schön aufzuschreiben:











da







Das Ganze natürlich analog zu



Trotzdem bleibt mir noch eine Frage und zwar zu folgendem letzten Schritt:
Zitat:



Grafisch kann ich mir die Umformung der linken Seite einwandfrei erklären, aber gibt es dafür auch eine Regel oder Gesetz?


Der dritten Aufgabenstellung werde ich mich heute Abend widmen, da diese ein wenig "anders" ist Augenzwinkern

Liebe Grüße
ChrisL1988 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

nach einer weiteren Woche und der Hilfe von Dennis2010 hier die Beweise für alle drei Aufgabenstellungen zum Nachschlagen oder für Suchinteressenten.


Man beweise: Sind zwei Ereignisse A und B eines Ereignisraums W unabhängig, dann
sind auch und , und , sowie und unabhängige Ereignisse.


Ad 1)










da









Ad 2)










da









Ad 3)












da





=> nach De Morgan'sches Gesetz:





Ein schönes Wochenende smile
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