Offene Teilmengen

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24.09.2011, 14:53	Rik	Auf diesen Beitrag antworten »
Offene Teilmengen Meine Frage: Ich soll die aussage beweisen falls sie wahr ist, oder einen gegenbeispiel suchen falls sie falsch ist. Die Teilmenge $\begin{eqnarray} M:= \left\{ x\in X\| \|\|x\|\|>\pi \right\} \end{eqnarray}$ eines Normierten Raumes (X,\|\|.\|\|) ist offen. Meine Ideen: Meiner meinung nach ist es ja offensichtlich Wahr und die Teilmenge ist Offen. Denn wir können immer eine offene Epsilon Umgebung finden die in M drinnen ist, also egal wie klein der Abstand zwischen einen x aus M und pi ist, ich finde immer einen Epsilon Ball der kleiner ist und in M ist. Mein problem ist: wie soll ich dies (falls korrekt) in korrekter mathematischer Sprache darstellen? Danke Rik
24.09.2011, 15:43	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein Banachraum ist? Dann kannst du dir einfach das Komplement ansehen und dann wird die Aussage schon klar.
24.09.2011, 15:47	Rik	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf der Frage steht nur das (X,\|\|.\|\|) ein Normierter Raum ist. Und das die aussage klar ist ist mir auch klar, aber wie stelle ich des Mathematisch da?
24.09.2011, 15:56	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
K, dass es ein normierter VR ist, ändert ein wenig was. Mein Argument funktioniert trotzdem. Schau dir also das Komplement an. Die Aussage darüber ist trivial.
24.09.2011, 16:44	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ganz formal beweisen tust du über das Angeben / Konstruieren des passenden $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$
25.09.2011, 01:59	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Welches Epsilon? Ich glaube du bist gerade GAAAAAANNNNNZZZZZ woanders... Hier kann man für einen Beweis nirgends ein sinnvolles Epsilon angeben. PS: Und ich verbitte mir die Behauptung, mein Ansatz sei nicht formal...
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25.09.2011, 08:21	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte nicht dich, sondern Rik. Aber nun zu dir: dein Ansatz ist doch folgender. Du willst "einfach" zeigen, dass das Komplement abgeschlossen ist. $\begin{eqnarray} M^c:= \left\{ x\in X\| \\|x\\| \le \pi \right\} \end{eqnarray}$ Gut, du kannst jetzt auch sagen, dass wegen dem <= "klar" ist, dass die Menge abgeschlossen ist, aber so ganz formal ist das nun auch nicht. Ist halt die Frage, wie grundlegend das zu beweisen ist. Denn in meiner Topologie-Vorlesung mussten wir sogar beweisen dass der abgeschlossene Einheitsball abgeschlossen ist (mit Epsilons, Dreiecksungleichung). PS: Ich verbitte mir deinen Ton. Warst du etwa besoffen um die Uhrzeit?
25.09.2011, 10:18	Rik	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ThomasFF, Wir haben in der Vorlesung auch mal mit Epsilon bewiesen das die offene Kugel offen ist. Und so ein beweis habe ich mir auch vorgestellt. Da ich nicht so schnell bin in latex, werde ich mich erstmal auf einen Blatt damit beschäftigen und dann es ordentlich hier schreiben. Jetzt zu Grouser Lösungsmethode und deren "formalheit": $\begin{eqnarray} M^{c} := \left\{ x\in X\|\|\|x\|\|\leq \pi \right\} \end{eqnarray}$ Ist laut Wikipedia die Definition von einer Abgeschlossenen Kugel, des würde doch bedeutet das $\begin{eqnarray} M^{c} \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist und somit M offen. Oder nicht? Das war eine 2 Punkte Frage in der Klausur, und wahrscheinlich würde diese Lösung falls richtig, ausreichen. Nichtsdestotrotz würde mich das Epsilon Beweis sehr interessieren.
25.09.2011, 11:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Lösung solcher Aufgaben kommt es immer darauf an, welche topologischen Kenntnisse man verwenden darf. Man könnte es sich zum Beispiel ganz einfach machen, indem man auf die Stetigkeit der Funktion $\begin{eqnarray} f: \ X \to \mathbb{R} \, , \ \ x \mapsto \left\\| x \right\\| \end{eqnarray}$ zurückgreift. Es ist nämlich $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ das Urbild des offenen Intervalls $\begin{eqnarray} I = (\pi,\infty) \end{eqnarray}$ unter $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} M = f^{-1}(I) \end{eqnarray}$ Urbilder offener Mengen unter stetigen Funktionen sind aber offen. Also ist $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ offen. Fertig. Bei diesem Vorgehen wird natürlich einiges als bekannt vorausgesetzt: die Stetigkeit von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ (warum eigentlich ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig?) oder der Satz mit den Urbildern offener Mengen. Es geht auch mit einem elementaren Zugang, der die Topologie in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ benutzt. Man muß sich nur ein Bildchen malen: einen Kreis um $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , der, seinen Rand mit eingeschlossen, das Komplement von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ symbolisiert, und einen Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ im Äußern des Kreises, womit $\begin{eqnarray} \left\\| x_0 \right\\| > \pi \end{eqnarray}$ gilt. Dann ist $\begin{eqnarray} d_0 = \left\\| x_0 \right\\| - \pi \end{eqnarray}$ eine positive reelle Zahl, die den Abstand von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ zum Kreis angibt. Dann kann man ein beliebiges $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0 < \varepsilon < d_0 \end{eqnarray}$ nehmen und zeigen, daß die Kugel um $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ vom Radius $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ ganz zu $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ gehört. Das Bild löst eigentlich schon die Aufgabe. Und was ist formal zu rechnen? (Tip: umgekehrte Dreiecksungleichung)
25.09.2011, 12:00	Rik	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, danke für die ausführliche Erklärung. Des bild hatte ich so im Kopf, konnte es aber irgendwie nicht genau mathematisch vorstellen, aufjedenfall hier ein versuch: Sei $\begin{eqnarray} d(x_{0},a)<d_{0}/2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a\in X \end{eqnarray}$ und sei: $\begin{eqnarray} \frac{\varepsilon}{2} := d(x_{0},a) \end{eqnarray}$ Dann folgt doch: $\begin{eqnarray} d_{0}>d(x_{0},a)+d(x_{0},a)>\varepsilon \end{eqnarray}$ Und daraus folgt: $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|-\pi>\varepsilon\Rightarrow \|\|x\|\|-\varepsilon>\pi \end{eqnarray}$ Also habe ich jetzt eine $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ Kugel gefunden für die M immernoch gilt oder nicht? (kann auch sein das ich ein totales durcheinander gemacht habe) Danke
25.09.2011, 13:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathematische Formeln, kommentarlos aneinandergereiht, ergeben keinen Sinn. Ich weiß schlicht nicht, was du da tust. Bitte die deutsche Sprache verwenden. Denn dafür ist sie da, um mitzuteilen, was man vorhat und wo man bei diesem Vorhaben gerade ist. Du mußt doch zeigen, daß es eine Kugel um $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ gibt, die ganz in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ liegt (wobei $\begin{eqnarray} x_0 \in M \end{eqnarray}$ vorgegeben ist, also $\begin{eqnarray} \left\\| x_0 \right\\| > \pi \end{eqnarray}$ erfüllt). Jetzt gib diese Kugel, d.h. ihren Radius $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ an, und zeige, daß sie $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ angehört. Siehst du, wie viele Worte ich hier mache, um das Vorhaben herauszustellen? Weniger geht nicht.

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