Frage zu Arithmetischen Mittel

28.12.2006, 18:14

SilverBullet

Frage zu Arithmetischen Mittel

Nabend zusammen,

habe gerade eine Aufgabe durchgerechnet die wurde hier zwar schon besprochen jedoch geht es mir nicht um die Lösung sondern warum die Lösung gilt *g*.

Naja erst einmal die Aufgabe :

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine komplexe Folge mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} a_n = a \; \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , so gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (a_1 + \dots + a_N) = a \end{eqnarray*}$

Also als Tip habe ich da stehen:
"Für $\begin{eqnarray*} N > N_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N a_i = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N_0} a_i + \frac{1}{N} \sum_{i=N_0+1}^N a_i \end{eqnarray*}$

In unsere Ubüngsstunde hatte wir zunächst ein paar Sachen aufgeschrieben und genau die sind mein Problem ich hab einfach keine Ahnung mehr was das bedeuten soll bzw. wie man darauf kommt.

Diese Dinge sind :

1:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gegeben.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists N_n \in \mathbb N \text{, so dass} \forall n \geq N_0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid a_n - a \mid < \frac {\epsilon N}{2(N-N_0-1)} \end{eqnarray*}$

2:

$\begin{eqnarray*} \lim_{N \to \infty} \frac 1 N = 0 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \exists N_1 \in \mathbb N \text{, so dass } \forall N \geq N_1 : \frac 1 n < \frac {\epsilon} {2 (\sum_{v=1}^{N_0}~\mid a_v - a\mid )} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N > max(N_0, N_1) \end{eqnarray*}$

Meine Fragen sind nun :

1
Warum steht dies als Tip da? Nur damit man am Ende abschätzen kann ?
"Für $\begin{eqnarray*} N > N_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N a_i = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N_0} a_i + \frac{1}{N} \sum_{i=N_0+1}^N a_i \end{eqnarray*}$

2
Wie kommt man darauf ? Wo kommt das her ?
Hatten wir jedenfalls nicht so in der Vorlesung :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists N_n \in \mathbb N \text{, so dass} \forall n \geq N_0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid a_n - a \mid < \frac {\epsilon N}{2(N-N_0-1)} \end{eqnarray*}$

"Also wie kommt das rechte zustande?"

3
Und wo kommt dies her und wie kommt man darauf ?

also $\begin{eqnarray*} \exists N_1 \in \mathbb N \text{, so dass } \forall N \geq N_1 : \frac 1 n < \frac {\epsilon} {2 (\sum_{v=1}^{N_0}~\mid a_v - a\mid )} \end{eqnarray*}$
"Auch hier nur das Rechte"

Sorry für die vielen Fragen aber verstehe das einfach nicht unglücklich

Lieben Gruß
Silver

28.12.2006, 19:05

Dual Space

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Stichwort: Cesàro-Mittel.

Siehe auch hier: Konvergenz Mittelwert

28.12.2006, 19:59

SilverBullet

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Ja das weiß ich, habe ich oben auch erwähnt das ich die Threats bereits gelesen habe.

Hilft mir jedoch nicht.

Eine Frage die ich oben z.b. gestellt habe ist :

$\begin{eqnarray*} \mid a_n - a \mid < \frac {\epsilon N}{2(N-N_0-1)} \end{eqnarray*}$
Wie kommt dies zu Stande ?

Links ist klar steht der Abstand eines Folgengliedes zum Grenzwert. Auf die rechte Seite hätte ich allerdings nur Epsilon geschrieben also so :

$\begin{eqnarray*} \mid a_n - a \mid <\epsilon \end{eqnarray*}$

Wo kommt der Rest her ?

28.12.2006, 20:14

Dual Space

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Zitat:

Original von SilverBullet
$\begin{eqnarray*} \mid a_n - a \mid < \frac {\epsilon N}{2(N-N_0-1)} \end{eqnarray*}$
Wie kommt dies zu Stande ?

Wo ist das Problem? Die rechte Seite ist echt größer als 0 für jedes feste N mit $\begin{eqnarray*} N>N_0+1 \end{eqnarray*}$ . Also ist die zitierte Ungleichung für hinreichend große n erfüllt.

28.12.2006, 20:17

SilverBullet

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Achso also hat sich das einfach irgend jemand so definiert ? Ich dachte man kann sich irgend etwas nehmen und durch umformen und erweitern erhält man dann die rechte Seite.

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