Notation: Erzeugnis

24.09.2011, 23:39

Pascal95

Notation: Erzeugnis

Hallo,

in meinem Lineare-Algebra-Buch, wo es gerade um komplementäre Unterräume geht, lese ich folgendes:

Zitat:

[...] das Erzeugnis von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ so groß wie möglich ist: $\begin{eqnarray*} <U_1,\, U_2>\, =V \end{eqnarray*}$ .

Allerdings kenne ich diese Schreibweise nicht.

Das Erzeugnis kenne ich nur in der Form $\begin{eqnarray*} <v_1,\, v_2,\, \ldots, \, v_n > \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (v_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge mit Einträgen aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Vermutung:
Ist hier vielleicht $\begin{eqnarray*} <U_1\cup U_2>\, =V \end{eqnarray*}$ gemeint ?

Vielen Dank!

25.09.2011, 03:19

Ibn Batuta

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Das Erzeugnis von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ so groß wie möglich ist, bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} U_1+U_2=V \end{eqnarray*}$ ist oder anders formuliert: jeder Vektor $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ lässt sich somit eindeutig als Summe eines Vektors $\begin{eqnarray*} u_1\in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2\in U_2 \end{eqnarray*}$ schreiben, falls $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ komplementäre Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sind. Was du hier zeigen musst, ist die Existenz und Eindeutigkeit.

Ibn Batuta

25.09.2011, 12:46

Pascal95

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Hallo,

danke für deine Antwort.

meinst du also:

$\begin{eqnarray*} <U_1,\, U_2>\ =\ U_1+U_2\ =\ \{ u_1+u_2\, \mid\, u_1\in U_1,\, u_2\in U_2 \} \end{eqnarray*}$ ?

Und was ich anfangs aus dem Buch zitiert habe, war nur die Definition.
Dass man dann die Vektoren aus V eindeutig als Summe von Vektoren aus den komplementären Unterräumen darstellen kann, wird später auch behandelt.

25.09.2011, 12:57

Ibn Batuta

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Genau.

Ibn Batuta

25.09.2011, 13:17

Leopold

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Das ist aber ein kleines Durcheinander hier. Was ist denn vorausgesetzt und was ist zu zeigen?

Zunächst einmal gilt tatsächlich

$\begin{eqnarray*} \left \langle U_1 , U_2 \right \rangle = \left \langle U_1 \cup U_2 \right \rangle \end{eqnarray*}$

Und zwar immer! Unabhängig davon, was $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ ist.

Alles andere, was hier geschrieben wurde, gilt nur unter weiteren Voraussetzungen an $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ . Oder es dient dazu, weitere Begriffe zu definieren.

25.09.2011, 13:24

Pascal95

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Es soll hier gar nichts gezeigt werden.

Ich hatte nur eine Frage bezüglich einer Definition.

Und zwar kannte ich die Schreibweise $\begin{eqnarray*} <U_1,\, U_2>\, =V \end{eqnarray*}$ nicht, da ja eine Vektorfamilie von < und > "eingeschlossen" wird, also in etwa $\begin{eqnarray*} <v_1,\, v_2,\, \ldots, \, v_n > \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (v_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge mit Einträgen aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Nun sind $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ ja keine Vektoren, daher kann ich mit der Schreibweise nichts anfangen.

25.09.2011, 13:26

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Leopold
Alles andere, was hier geschrieben wurde, gilt nur unter weiteren Voraussetzungen an $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ . Oder es dient dazu, weitere Begriffe zu definieren.

Hallo Leopold,

Pascal95 schrieb oben:

Zitat:

in meinem Lineare-Algebra-Buch, wo es gerade um komplementäre Unterräume geht, lese ich folgendes:

Auf das bezog sich meine Aussage.

Ibn Batuta

25.09.2011, 17:40

Pascal95

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Leider weiß ich immer noch nicht, wie nun $\begin{eqnarray*} \left\langle U_1,\, U_2 \right\rangle \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Man weiß nur, dass $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ Unterräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sind.

25.09.2011, 17:59

Leopold

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So ist es definiert.

Zitat:

Original von Leopold
Zunächst einmal gilt tatsächlich

$\begin{eqnarray*} \left \langle U_1 , U_2 \right \rangle = \left \langle U_1 \cup U_2 \right \rangle \end{eqnarray*}$

25.09.2011, 18:00

Ibn Batuta

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Was gefällt dir denn an deiner Definition von oben nicht? ( $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ sind komplementäre Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} <U_1,\, U_2>\ =\ U_1+U_2\ =\ \{ u_1+u_2\, \mid\, u_1\in U_1,\, u_2\in U_2 \} \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

25.09.2011, 18:17

Pascal95

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Ich war durch Leopolds Beitrag verwirrt...

So ist es also richtig ?

Dann wäre es ja einfach...

25.09.2011, 18:27

Leopold

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Was Ibn Batuta schreibt, ist nicht die Definition des Erzeugnisses, sondern schon eine Folgerung, nämlich für den Fall, daß $\begin{eqnarray*} U_1,U_2 \end{eqnarray*}$ Unterräume sind. Dann gilt in der Tat

$\begin{eqnarray*} \left \langle U_1 , U_2 \right \rangle = U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$

Dazu brauchen im übrigen $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ nicht komplementär zu sein.

25.09.2011, 20:53

Pascal95

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Ist es also so definiert ?

$\begin{eqnarray*} \left \langle U_1 , U_2 \right \rangle = \left \langle U_1 \cup U_2 \right \rangle \end{eqnarray*}$

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