[Bosch - Algebra] 4.6 Aufgabe 2

25.09.2011, 03:43

gonnabphd

[Bosch - Algebra] 4.6 Aufgabe 2

Hi,

Schlage mich nach wie vor mit Algebra rum. Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \text{Es seien $L/K$ und $M/K$ Körpererweiterungen sowie $\sigma_1, \dots, \sigma_r$ verschiedene $K$-Homomorphsimen von $L$ nach $M$.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Man zeige, dass es Elemente $x_1, \dots, x_r \in L$ gibt, so dass die Vektoren $\xi_i = (\sigma_i(x_1), \dots, \sigma_i(x_r)) \in M^r,$} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ $i = 1, \dots, r$ linear unabhängig über $M$ sind.} \end{eqnarray*}$

Dazu ist noch der Hinweis gegeben, dass man die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \Phi: L \to M^r, \; x \mapsto (\sigma_1(x), \dots, \sigma_r(x)) \end{eqnarray*}$

betrachten soll und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M^r \end{eqnarray*}$ von dessen Bild als M-Vektorraum erzeugt wird.

Mir ist klar, wie aus dem Hinweis die Lösung des Problems folgt. Mir ist allerdings überhaupt nicht klar, wie man den Hinweis beweisen könnte.

Ich hab mir mal die Fälle r = 1, 2, 3 angeschaut und habe gesehen, dass es für diese Fälle richtig ist. Allerdings sehe ich kein Muster dahinter und so sind dann auch alle Versuche einer Induktion nach r gescheitert.

Eine andere Überlegung wäre es, L als Vektorraum über K aufzufassen und damit vielleicht etwas mithilfe von linearer Algebra anzustellen. Aber ehrlich gesagt sehe ich auch da kein Licht.

Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich parat oder irgenwelche Gedanken dazu?

Vielen Dank. Freude

26.09.2011, 17:58

tmo

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Da du wahrscheinlich nicht pushen willst, pushe ich jetzt mal für dich Big Laugh

Mit der kleinen Anmerkung, dass da doch irgendwas nicht stimmen kann, denn wenn man $\begin{eqnarray*} \sigma_1=0 \end{eqnarray*}$ wählt, so ist $\begin{eqnarray*} \xi_1=0 \end{eqnarray*}$ . Und wenn man z.b. $\begin{eqnarray*} \sigma_2=2\sigma_1 \end{eqnarray*}$ wählt, so ist $\begin{eqnarray*} \xi_2=2\xi_1 \end{eqnarray*}$ .

Heißt die Bedingung an die Sigmas also nicht eher "linear unabhängig" statt verschieden? verwirrt

26.09.2011, 19:11

Reksilat

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RE: [Bosch - Algebra] 4.6 Aufgabe 2
Also wenn $\begin{eqnarray*} \sigma_2=2\sigma_1 \end{eqnarray*}$ ist, dann können nicht beides $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Homomorphismen sein, da diese ja $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ inklusive der $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ festlassen müssen. Deshalb fällt auch $\begin{eqnarray*} \sigma_1=0 \end{eqnarray*}$ raus.

Nehmt doch mal an, dass die $\begin{eqnarray*} ((\sigma_1(x), \dots, \sigma_r(x)) \end{eqnarray*}$ nicht den $\begin{eqnarray*} M^r \end{eqnarray*}$ erzeugen, dann müssen sie alle in einer Hyperebene liegen und diese kann man in einer Normalenform aufschreiben.
Das sollte den Widerspruch einem vorherigen Ergebnis aus dem Bosch liefern. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

26.09.2011, 19:12

jester.

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Die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ stammen aus $\begin{eqnarray*} {\rm Hom}_K(L,M) \end{eqnarray*}$ , d.h. sie sind $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Algebrenhomomorphismen, sie lassen also $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und insbesondere die 1 fest. Da $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ein Körper ist und der Kern ein Ideal sind sie sogar injektiv. Die Wahl $\begin{eqnarray*} \sigma_1=0 \end{eqnarray*}$ scheidet also aus.

Zur Aufgabe selbst gerade keine brillanten Ideen und gerade auch wenig Zeit...

Dass man den Satz von Artin über die lineare Unabhängigkeit von Charakteren verwenden sollte, drängt sich aber irgendwie schon durch die Gestaltung des Kapitels auf. Wenn mir etwas einfällt, melde ich mich nochmal.

Edit: Reksilat ist wieder da und rettet die Aufgabe! Prost

26.09.2011, 20:05

tmo

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Ah ok, ich habe das blöderweise so interpretiert, dass es nur ein K-Vektorraumhomomorphismus ist...

26.09.2011, 21:42

gonnabphd

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Hier hat sich ja mittlerweile so einiges getan. Danke tmo für's pushen.

Also so: Wäre die lineare Hülle der Vektoren nicht ganz $\begin{eqnarray*} M^r \end{eqnarray*}$ , dann könnte man die Projektion $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf einen Vektor in einem Komplement betrachten (man schreibe $\begin{eqnarray*} M^r = E \oplus \langle v \rangle \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathrm{span}\left\{ (\sigma_1(x), \ldots, \sigma_r(x)) \; |\; x \in L\right\} \subset E \end{eqnarray*}$ und projiziere auf v).

Als lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} P: M^r \to M \end{eqnarray*}$ hat diese eine Matrixdarstellung $\begin{eqnarray*} P = \begin{pmatrix} m_1 & \ldots & m_r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt dann $\begin{eqnarray*} (\sigma_1(x), \ldots, \sigma_r(x)) \in \ker P \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in L \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} m_1 \sigma_1 + \dots + m_r \sigma_r = 0 \end{eqnarray*}$

Dies widerspricht aber dem Satz über die lineare Unabhängigkeit von Charakteren.

27.09.2011, 11:34

Reksilat

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Ja, so habe ich mir das auch gedacht. smile

27.09.2011, 22:24

gonnabphd

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Vielen Dank für die Hilfe. Freude

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