Lösung der Differentialgleichung

25.09.2011, 12:15

fontsix

Lösung der Differentialgleichung

Hallo zusammen ich habe Probleme beim Lösen folgender Differentialgleichung ...

$\begin{eqnarray*} y'-2 \frac{y}{x}=2 x^{3} \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}-2\frac{y}{x} =2 x^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}-2y=2\ x^{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dy-2y=2x^{4} dx \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle weiß ich nun allerdings nicht mehr weiter wie ich $\begin{eqnarray*} dy-2y \end{eqnarray*}$ so umformen kann das ich beide Seiten Integrieren kann.

Ich hoffe die Schritte bis dahin sind einigermaßen richtig und jemand könnte mir bei den letzten Schritten beim Lösen der Aufgabe behilflich sein.

25.09.2011, 12:22

Ibn Batuta

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Der Schritt ist schonmal falsch:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}-2\frac{y}{x} =2 x^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}-2y=2\ x^{4} \end{eqnarray*}$

Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-2\frac{y}{x} =2 x^{3} \Rightarrow x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-2y=2\ x^{4} \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

25.09.2011, 12:41

fontsix

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Ich komme bei der Aufgabe trotzdem nicht weiter.

25.09.2011, 12:46

Gast11022013

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RE: Lösung der Differentialgleichung
Es handelt sich hier doch um eine inhomogene Differentialgleichung der Form:

$\begin{eqnarray*} y'=a(x)y+b(x) \end{eqnarray*}$ , oder?

Also mit $\begin{eqnarray*} a(x)=2x, b(x)=2x^3 \end{eqnarray*}$ ?

Edit:

Sorry, ich meinte: $\begin{eqnarray*} a(x)=\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ .

Dein Fehler ist - glaube ich - daß Du es mit "Trennung der Variablen" versuchst?
Das geht hier nicht, weil diese Methode bei diesem Typ von Differentialgleichung nicht geht.

25.09.2011, 13:19

fontsix

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Das ist äußerst ungünstig.

25.09.2011, 13:28

Gast11022013

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So schlimm ist das gar nicht.
Für solche inhomogenen Differentialgleichung findet man auch relativ schnell eine Lösung.

26.09.2011, 09:44

moonsymmetry

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Hi fontsix,

Dieses Beispiel lässt sich auch sehr leicht so lösen:

1) Trennung der Variablen der dazugehörigen homogenen Gleichung.
2) Variation der Konstanten zur Bestimmung einer partikulären lösung der inhomogenen Gleichung.

Lösung: $\begin{eqnarray*} y(x) = Cx^2 + x^4 \end{eqnarray*}$

lg

26.09.2011, 13:05

Gast11022013

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Ja, das ist hier die Vorgehensweise.

Hätte ich vielleicht dazuschreiben sollen. Also vielen Dank für die Ergänzung.

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