Ansatz für Lösung von Differenzengleichung

25.09.2011, 14:39	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz für Lösung von Differenzengleichung Hallo Bin am Lösen folgender Differenzengleichung: $\begin{eqnarray} x_{n+2} - x_{n+1} - 2x_n = 10 + 10\cdot 4^n \end{eqnarray}$ Die Lösung der homogenen Gleichung ist kein problem. hier bekomm ich herauis: $\begin{eqnarray} x^{(h)}_n = C_1 \lambda_1^n + C_2 \lambda_2^n \end{eqnarray}$ Nun zur partikulären lösung der inhomogenen Gleichung. Da macht man ja den unbestimmten Ansatz. Das Störglied ist bei mir $\begin{eqnarray} 10 + 10 \cdot 4^n \end{eqnarray}$ Was wäre hier der richtige Ansatz. Ich würde sagen der Ansatz ist $\begin{eqnarray} A \cdot 4^n + B \end{eqnarray}$ ist dasrichtig? oder ginge auch $\begin{eqnarray} A + B^n \end{eqnarray}$ weiters hätte ich da ja auch noch einen resonanzfall vorliegen oder? weil in der lösung der homog. Gl. kommt ja lambda^n vor....`??? bin da etwas verwirrt könnte mir jemand helfen? lg
25.09.2011, 15:10	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ansatz für Lösung von Differenzengleichung nächste Idee: Ich habe gelesen dass es das sogenannte "Superpositionsprinzip" gibt, womit ich die Störfunktion aufsplitten kann in: $\begin{eqnarray} s_n^{(1)} = 10 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s_n^{(2)} = 10 \cdot 4^n \end{eqnarray}$ dann wäre mein Ansatz für s1 einfach A. und der Ansatz für s2: $\begin{eqnarray} B \cdot 4^n \end{eqnarray}$ stimmt das vielleicht? lg
26.09.2011, 10:53	moonsymmetry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ansatz für Lösung von Differenzengleichung hm okay ich bin jetzt auf folgenden, für mich plausiblen lösungsweg gekommen: die allemeine lösung der homog. Gleichung bleibt wie gehabt: $\begin{eqnarray} x^{h}_n = C_1 2^n - C_2 1^n \end{eqnarray}$ zur partikulären lösung der inh. Gl.: Das Störglied $\begin{eqnarray} 10 + 104^n \end{eqnarray}$ splitte ich auf in $\begin{eqnarray} s_1 = 10 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s_2 = 104^n \end{eqnarray}$ und behandle jedes störglied seperat (Superpositionsprinzip) für $\begin{eqnarray} s_1 \end{eqnarray}$ wähle i ch den Ansatz A. $\begin{eqnarray} A - A - 2A = 10 \rightarrow A = -5 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} s_2 \end{eqnarray}$ nehme ich den Ansatz $\begin{eqnarray} A\cdot 4^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\cdot 4^{n+2} -A \cdot 4^{n+1} - 2 A \cdot 4^n = 10 \cdot 4^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\cdot 4^2 - A \cdot 4 ^1 -2A=10 \rightarrow A = 1 \end{eqnarray}$ Die Lösung lautet also $\begin{eqnarray} x_n = C_1 \cdot 2^n - C2 \cdot 1^n - 5 + 4^n \end{eqnarray}$ kann das stimmen? Ich habe ein paar Fragen: * Habe ich bei s_1 oder bei s_2 einen Resonanzfall vergessen, oder gehe ich richtig der annahme dass hier kein Resonanzfall vorliegt? * Warum gibt es zum Thema Differenzengleichungen so wenig zum Nachschlagen? Das wird irgendwie überall nur so als "Randthema" behandelt :/ * Kann WolframAlpha Solche Differenzengleichungen lösen? Wenn ja, wie? Wäre cool zum kontrollieren. lg

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »