Injektivität

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Ostara Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität
Meine Frage:
Hallo.
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

A,B,C sind Mengen, f:A->B und g:B->C Abbildungen. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Die Richtigkeit ist zu begründen bzw. mit einem Gegenbeispiel zu widerlegen.
a.) f injektiv-> gof injektiv
b.) g injektiv-> gof injektiv.



Meine Ideen:
Ehrlich gesagt, bin ich grad am verzweifeln. Ich hab im Internet nachgeschaut, aber nur andere Aufgaben dieser Art gefunden: gof injektiv-> f injektiv...

Ich glaub bei a.) kann man nicht sagen ob das stimmt oder nicht, denn es kommt ja auch auf g an. Bei b.) auch.

Ich wäre total froh, wenn mir jemand helfen kann...
Danke im voraus
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität
Zitat:
Original von Ostara
Ich glaub bei a.) kann man nicht sagen ob das stimmt oder nicht, denn es kommt ja auch auf g an. Bei b.) auch.
Die Aussage ist so zu verstehen, dass es für alle f und alle g gilt.
Wenn du also ein Gegenbeispiel angeben kannst, für das es nicht gilt, dann ist die Aussage falsch, anderenfalls musst du beweisen, dass es für alle gilt.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität
hallo ostara,
ich würde dir vorschlagen, ein bildchen zu malen mit 3 kringeln, die die 3 mengen
darstellen sollen, am besten immer nur mit 2 oder 3 elementen pro menge
und dann mit pfeilen immer mögliche abbildungen darstellen und mehrere
möglichkeiten durchprobieren, daa wird dir schnell alles klar werden.
Ostara Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab es mit einem Bild versucht, aber irgendwie kapier ich das immer noch nicht
traurig .

Ich glaube dass die Aussage a falsch ist. Gegenbeispiel:

A={0,1,2}
B={0,1}
C={0,1}

lAl=2 < lBl =2
gof=0,1

Würde das als Gegenbeispiel genügen?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist g und was ist f?
Schau dir nochmal die Definition von Injektivität an

Die vorletzte Gleichung stimmt so auch nicht.
Ostara Auf diesen Beitrag antworten »

Oh. Mir ist ein Fehler unterlaufen. Ich meinte:
lAl=3 < lBl =2

Injektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal getroffen wird. Also entweder keinmal oder eben einmal.

Stimmt denn mein Gegenbeispiel nicht? traurig
 
 
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo ostara,
dein gegenbeispiel stimmt, aussage a ist also falsch.
Jetzt musst du noch b untersuchen.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ollie3
hallo ostara,
dein gegenbeispiel stimmt, aussage a ist also falsch.
Nein, das Gegenbeispiel funktioniert so eben nicht.

Ich wiederhole auch gerne meine Frage von vorhin: Was ist g und was ist f?

Voraussetzung ist doch, dass f injektiv ist, wie soll f denn bei diesen mengen injektiv sein?
Ostara Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube b.) stimmt, bin mir aber nicht sicher. Ich hab mir wieder ein Bild gemacht. Ich glaub ich bin nicht fähig es zu beweisen...
Könnt ihr mir einen Tipp geben?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ostara
Ich glaube b.) stimmt, bin mir aber nicht sicher. Ich hab mir wieder ein Bild gemacht. Ich glaub ich bin nicht fähig es zu beweisen...
Könnt ihr mir einen Tipp geben?
Wir sind mit a) noch nicht fertig...

Weswegen vermutest du denn dass b) stimmt?
Ostara Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

a.) Es existiert kein x: g(x)of=2. (Ich glaub,was ich grad geschrieben hab, ist Bullshit).

b.) Hm, hab gerade herausgefunden, dass b.) doch nicht stimmt.

Gegenbeispiel zu b.):
A={0,1,2,3}
B={0,1}
C={0,1,2}

Nur 2 Komponenten von C werden von B getroffen-> g ist injektiv.
Jedoch werden {0,1}B von 4 Komponenten getroffen.
Wenn man das Ganze (gof) betrachtet, dann folgt dass gof surjektiv sein muss.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ostara
Okay,

a.) Es existiert kein x: g(x)of=2. (Ich glaub,was ich grad geschrieben hab, ist Bullshit).
Die Schreibweise stimmt so auch nicht, wir reden hier von der hinrtereinanderausführung.
Also musst du dir die Aufgabe nochmal anschauen
Zitat:
Original von Ostara
b.) Hm, hab gerade herausgefunden, dass b.) doch nicht stimmt.

Gegenbeispiel zu b.):
A={0,1,2,3}
B={0,1}
C={0,1,2}

Nur 2 Komponenten von C werden von B getroffen-> g ist injektiv.
Jedoch werden {0,1}B von 4 Komponenten getroffen.
Wenn man das Ganze (gof) betrachtet, dann folgt dass gof surjektiv sein muss.

Ich wiederhole auch gerne meine Frage von vorhin: Was ist g und was ist f?
Ostara Auf diesen Beitrag antworten »

g und f sind Abbildungen.

f ist eine Abbildung von A nach B und
g ist eine Abbildung von B nach C.

Okay, die Definitionen verstehe ich.
Alles was ich vorhin geschrieben habe ist FALSCH, richtig? Ich sitze schon seit Stunden am Arbeitstisch und versteh nicht wie ich ein Gegenbsp bringen soll. traurig
Könnt ihr mir nicht einen Tipp geben, damit ich ne Ahnung habe?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ostara
g und f sind Abbildungen.

f ist eine Abbildung von A nach B und
g ist eine Abbildung von B nach C.
Ja, und wie sieht nun dein Gegenbeispiel aus?
Ein Gegenbeispiel heißt doch, dass du dir eine konkrete Funktion wählst. Wie steht diese aus?
Ostara Auf diesen Beitrag antworten »

a.) eine konkrete Funktion wählen
f(a1)=f(a2)
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ostara
a.) eine konkrete Funktion wählen
f(a1)=f(a2)
Nicht sehr konkret.

Schaui dir an, was eine Funktion ist und wie man eine solche konkretangibt!

Ich bin raus hier, jemand anderes kann hier übernehmen
Ostara Auf diesen Beitrag antworten »

Ist schon okay. Ich hab aufgegeben.

Trotzdem vielen Dank
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo ostara und math1986,
oh mann, hier läuft ja einiges aus dem ruder. Habe endlich die richtige lösung gefunden. Also, sowohl a als auch b sind falsch.
Gegenbeispiel für a:
A={o,1,2}
B={0,1,2}
C={1,2} f injektiv, g nicht, g nach f auch nicht

Gegenbeispiel für b:
A={0,1,2}
B={1,2}
C={1,2} f nicht injektiv, g aber injektiv, g nach f nicht injektiv,

ich glaube das ist es. smile
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Da math1986 raus ist , hake ich hier kurz ein.
@ollie3: Auch Du hast hier keine Abbildung definiert. Du gibst nur Quelle und Ziel der potentiellen Abbildung an, aber das wesentliche einer Abbildung ist die Abbildungsvorschrift.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo galoisbruder,
hast natürlich recht, den rest habe ich stillschweigend vorausgesetzt.
Also, bei gegenbeispiel zu a könnte man setzen f(x)=x , g(0)=1, g(1)=1,
g(2)=2, und bei gegenbeispiel zu b könnte man setzen f(0)=f(1)=1, f(2)=2
und und g(x)=x.
So, jetzt müsste eigentlich alles vollständig sein. smile
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