Ansatz für partikuläre Lösung

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fontsix Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz für partikuläre Lösung


Ist es möglich bei dieser Art von DGL zuerst die homogene Lösung zu berechnen und dann mit dem Störgliedansatz auf die partikuläre Lösung zu kommen.

Ich meine ich habe die richtige homogene Lösung herausgefunden allerdings weiß ich jetzt nicht welchen Störgliedansatz ich verwenden muss.

Kann jemand helfen ?
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, habe auch eine frage zu dem beispiel.
kann es sein dass man, die Trennung der Variablen bei diesem beispiel nicht anwenden kann?
zumindest klappt es bei mir nicht. :/
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann nicht auf jede Differentialgleichung 1. Ordnung immer Trennung der Variablen anwenden, das hat niemals jemand gesagt. Es ist aber wohl möglich das Ganze auf die zugehörige homogene DGL anzuwenden. Danach kommt man mit Variation der Konstaten/Ansatz nach Störfunktion zum Ziel.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht einfach mal zur Klärung:

Man kann die Methode der "Trennung der Veränderlichen" anwenden auf Differentialgleichungen der Form:

.

Näheres hierzu findet sich zum Beispiel in
"Einführung in die höhere Analysis", Dirk Werner, S. 138 (2. Auflage).
moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würd ich zumindest mal die homogene Lösung so ausrechnen:















 
 
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man nur wissen will, ob sein Ergebnis richtig ist, gibt es immernoch Wolfram Alpha Augenzwinkern
fontsix Auf diesen Beitrag antworten »

Und in der Klausur ? Wäre nett wenn jetzt mal jemand bei beim Störgliedansatz helfen könnte, zumal hier niemand nach der Lösung von WolframAlpha, Maple oder Mathematica gefragt hat ...

Mich interessiert der Lösungsweg.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Les doch bitte nochmal meinen 1. und/oder 2. post in diesem Thread. Ich denke daraus kann man schon erkennen wie man auf die Lösung kommt.
fontsix Auf diesen Beitrag antworten »

Die 1. Antwort bringt ja mal überhaupt niemanden weiter, eine Variable auf die andere Seite zu bringen ... Wem soll das helfen ? Und mich interessiert der Ansatz, z.B. etwas in der Form



Ist das der richtige Ansatz zum Aufsuchen der partikulären Lösung ?

Sollten zudem nicht alle gleichen Variablen auf einer Seite sein ?
moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fontsix



Ist das der richtige Ansatz zum Aufsuchen der partikulären Lösung ?


Ich glaube bei diesem Beispiel kommt man mit der Methode der Variation der Konstanten zum Ziel.

die allg. Lösung der hom.Gleichung lautet ja

aus der Konstante wird eine Funktion von x.

-->

durch Einsetzen in die inhomogene Gleichung kommt man auf C(x) und somit und kann somit die partikuläre Lösung bestimmen...
fontsix Auf diesen Beitrag antworten »

als allgemeine Lösung erhalte ich auch



Allerdings soll die allgemeine Lösung der Aufgabe sein.

Das verstehe ich einfach nicht.

Ach, sorry das ist schon mit der homogenen Lösung zusammen die allgemeine Lösung der DGL.
fontsix Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter ...

Also nehmen wir jetzt an

Dann steht da
Das einmal abgeleitet mit der Quotientenregel ergibt



und werden ja nun in die Ausgangsdifferentialgleichung eingesetzt. Aber der Term wird derart kompliziert für mich das ich Ihn nicht weiter vereinfachen kann. verwirrt

Ausgangs-DGL:
moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fontsix
als allgemeine Lösung erhalte ich auch



Allerdings soll die allgemeine Lösung der Aufgabe sein.

Das verstehe ich einfach nicht.

Ach, sorry das ist schon mit der homogenen Lösung zusammen die allgemeine Lösung der DGL.


Okay.

also unsere homogene Lösung ist



Jezt wenden wir darauf die "Variation der Konstanten" an um auf eine partikuläre Lösung zu kommen.

unsre Partikuläre Lösung schaut also so aus:

Das muss man nun ableiten damit man in die inhomogene Gleichung einsetzen kann.

lässt sich wunderbar mit der Produktregel ableiten.

Wir erhalten:

könnte man jetzt noch in Wurzelschreibweise umformen. Lass ich aber mal.

nun wirds interessant.

Jetzt setzen wir unser und in die inhomogene Gleichung ein:



das ganze dividiert dur



summand 1 und drei hebt sich auf und wir kommen auf:

Prost

wir brauchen aber das C(x) ...also integrieren wir unser C'(x) halt...



somit haben wir unsere heißersehnte partikuläre lösung:
Jetzt sind wir eigentlich fast fertig.

Die Lösungsgesamtheit setzt sich ja zusammen aus der allgemeinen lösung der homogenen gleichung und einer partikulären lösung:



beides haben wir ja nun bestimmt, also:

fontsix Auf diesen Beitrag antworten »

Warum nicht mit der Quotientenregel ?
moonsymmetry Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fontsix
Warum nicht mit der Quotientenregel ?


fontsix Auf diesen Beitrag antworten »

Ach sorry, vielen Dank für den Lösungsweg, der Latexbefehl war vorher nicht richtig dargestellt, habs aber dann doch noch gesehen. Der Trick war dann bei der Aufgabe einfach nur zu sehen das man den Wurzelausdruck auch anders schreiben kann, mit der Quotientenregel wäre die Lösung schwerer geworden ....

Hab vielen Dank nochmal Gott
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Q-fLaDeN


Zitat:
Original von fontsix
Die 1. Antwort bringt ja mal überhaupt niemanden weiter, eine Variable auf die andere Seite zu bringen ... Wem soll das helfen ?


@fontsix: Immer mit der Ruhe: Q-fLaDeN wird sich schon etwas dabei gedacht haben! Augenzwinkern

Ich würde mal vermuten, dass er davon ausgegangen ist, dass du erkennst, dass die linke Seite von



gerade die Ableitung von ist. Also steht da



Das lädt zur Substitution ein.
Damit erhält man sofort und deshalb dann



Ich würde dich deshalb bitten, nächstes Mal etwas freundlicher zurückzuschreiben, wenn dir ein Hilfeversuch unnütz erscheint. z.B. hättest du ja einfach etwas wie:

"Hallo Q-fLaDeN! Danke für deine Antwort. Ich sehe leider nicht, inwiefern mir diese Umformung hilft. Könntest du deine Idee etwas näher erläutern?"

zurückschreiben können. Ich denke, man sieht den Unterschied zu deiner Version.

Grüsse
fontsix Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das tut mir leid, aber wenn man innerhalb eines Semesters 11 Prüfungen schreibt, davon in den nächsten 3 Tagen jeden Tag eine und dann immer so ein paar Brocken hingeworfen bekommt, kann es schonmal vorkommen das man die Geduld verliert.

In diesem Sinne, an alle Bachelorstudenten, lasst euch nicht unterkriegen. Big Laugh

Und Gute Nacht.
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