Hilfe bei einer Ableitung von f(x) = (2x + 2) · log((x + 1) 2 )

25.09.2011, 16:24

GregorC

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Hilfe bei einer Ableitung von f(x) = (2x + 2) · log((x + 1) 2 )

Ich habe in einer Probeklausur eine Aufgabe, die ich Ableiten soll und danach die Minima und Maxima bestimmen.
Ich habe jedoch Probleme bei der Ableitung

Die Funktion lautet folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (2x + 2) * log((x + 1) ^2 ) \end{eqnarray*}$

Einmal sind die beiden Terme ja mit Produktregel verknüpft und $\begin{eqnarray*} log((x+1)^2) \end{eqnarray*}$ ist ja zusätzlich noch Kettelregel
$\begin{eqnarray*} log(x) \end{eqnarray*}$ und das
$\begin{eqnarray*} (x+1)^2 \end{eqnarray*}$
ist ja nochmal Kettenregel. Sehe ich das soweit richtig?

Dann hab ich diesen Ansatz hier

Erstmal hab ich nur $\begin{eqnarray*} log((x+1)^2) \end{eqnarray*}$ versucht abzuleiten:

$\begin{eqnarray*} 1/log(x+1)^2 * 2 (x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+1)^2 \end{eqnarray*}$ abgeleitet ergibt ja $\begin{eqnarray*} 2(x+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log((x+1)^2) \end{eqnarray*}$ abgeleitet ergibt $\begin{eqnarray*} 1/(x+1)^2 * \end{eqnarray*}$ Ableitung von $\begin{eqnarray*} (x+1)^2 \end{eqnarray*}$

Dann hab ich die Kettenregel auf alles angewendet

$\begin{eqnarray*} (2x+1) * 1/(x+1)^2 * 2(x+1) + 2 * log((x+1)^2) \end{eqnarray*}$

Ist mein Ansatz bzw. meine Lösung soweit korrekt?

25.09.2011, 17:00

Ibn Batuta

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Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \log \left( (x+1)^2 \right) \end{eqnarray*}$ ist falsch, denn sie lautet:

$\begin{eqnarray*} \left( \log ( (x+1)^2 ) \right)' = \frac{1}{(x+1)^2}\cdot 2\cdot(x+1) = \frac 2 {x+1} \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

25.09.2011, 17:27

GregorC

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Alles klar.

Hab jetzt das hier als Ergebnis (nicht zusammengefasst)

Aufgabe nochmal:

$\begin{eqnarray*} (2x+1) * log((x+1)^2) \end{eqnarray*}$

1. Ableitung

$\begin{eqnarray*} (2x+1) * 2/x+1 + 2 * log((x+1)^2) \end{eqnarray*}$

Wäre das korrekt?

25.09.2011, 17:46

Ibn Batuta

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Wenn du das hier meinst, bin ich einverstanden: $\begin{eqnarray*} f'(x)=(2x+1)\cdot \frac 2{x+1}+2\log((x+1)^2) \end{eqnarray*}$ . Sonst nicht.

Ibn Batuta

25.09.2011, 17:49

GregorC

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Genau ich meine

$\begin{eqnarray*} (2x+2) * \frac{2}{(x+1)} + 2 * log((x+1)^2) \end{eqnarray*}$

Kannst du mir da noch kurz beim Zusammenfassen helfen?
Hätte da folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} 10*log((x+1)^2) \end{eqnarray*}$

Korrekt?

Edit: [latex] vergessen.

25.09.2011, 17:56

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von GregorC
Genau ich meine

$\begin{eqnarray*} (2x+2) * \frac{2}{(x+1)} + 2 * log((x+1)^2) \end{eqnarray*}$

Das ist aber falsch. Denn es muss im ersten Ausdruck $\begin{eqnarray*} (2x+1) \end{eqnarray*}$ heißen und nicht $\begin{eqnarray*} (2x+2) \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

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25.09.2011, 18:12

Leopold

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Es wäre viel bequemer, erst mit einem Logarithmusgesetz umzuformen:

$\begin{eqnarray*} g(x) = \ln (x+1)^2 = 2 \ln |x+1| \end{eqnarray*}$

Und dann abzuleiten:

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{2}{x+1} \end{eqnarray*}$

So erspart man sich die Kettenregel.

25.09.2011, 18:21

GregorC

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Ok, kapiere!

$\begin{eqnarray*} (2x+2) * log((x+1^2) \end{eqnarray*}$

1. Ableitung demnach:

$\begin{eqnarray*} (2x+2) * \frac{2}{x+1} +2 * 2 * log(x+1) \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \frac{4x+4}{1x+1} +2 *2 * log(x+1) \end{eqnarray*}$

Bruch gekürzt

$\begin{eqnarray*} 4 + 4 + 2 * 2 *log (x+1) \end{eqnarray*}$

bleibt

$\begin{eqnarray*} 12 * log(x+1) \end{eqnarray*}$

Könnte DAS die Lösung sein? :-)

25.09.2011, 18:26

Ibn Batuta

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Jetzt mal eine konkrete Frage. Wie sieht deine Funktion nun wirklich aus?

Einmal schreibst du:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(2x+1) \cdot \log((x+1)^2) \end{eqnarray*}$ und andererseits dann wieder
$\begin{eqnarray*} f(x)=(2x+2) \cdot \log((x+1)^2) \end{eqnarray*}$ .

Was denn nun?

Ibn Batuta

25.09.2011, 18:27

GregorC

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$\begin{eqnarray*} (2x+2) * log((x+1^2) \end{eqnarray*}$

Hast recht, ich hatte einen vertipper! Sorry!

25.09.2011, 18:35

Leopold

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Zitat:

Original von GregorC
$\begin{eqnarray*} 4 + 4 + 2 * 2 *log (x+1) \end{eqnarray*}$

bleibt

$\begin{eqnarray*} 12 * log(x+1) \end{eqnarray*}$

geschockt

PUNKT VOR STRICH geschockt

geschockt

Und das Kürzen davor ist auch gehörig danebengegangen ...

25.09.2011, 18:35

Ibn Batuta

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Du machst noch elementare Fehler beim Kürzen und Zusammenfassen von Ausdrücken.

$\begin{eqnarray*} \frac{4x+4}{x+1} +2\cdot 2 \cdot \log(x+1)=4\cdot\frac{x+1}{x+1}+4\cdot\log(x+1)=4+4\cdot\log(x+1) \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

25.09.2011, 18:40

GregorC

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Ja, Summen kürzen nur die Dummen. Ich Idiot!

Kann die Lösung jetzt nachvollziehen.

4+4log(x+1)

Kann ich die 4+4log(x+1) auch als 8log(x+1) schreiben?

25.09.2011, 18:42

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von GregorC
$\begin{eqnarray*} 4 + 4 + 2 * 2 *log (x+1) \end{eqnarray*}$

bleibt

$\begin{eqnarray*} 12 * log(x+1) \end{eqnarray*}$

geschockt

PUNKT VOR STRICH geschockt

geschockt

25.09.2011, 18:42

Ibn Batuta

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Nein, das kannst du selbstverständlich nicht!

Ibn Batuta

25.09.2011, 18:43

GregorC

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Gut. Ich danke euch beiden sehr für eure Hilfe!
Hab jetzt die Aufgabe verstanden!

Wird jetzt auch so mit anderen Log Aufgaben funktionieren!

Danke nochmal!

25.09.2011, 18:58

GregorC

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Wenn wir schonmal dabei sind. Nullstelleberechnung.

Wäre das korrekt?

$\begin{eqnarray*} 4+4*log(x+1) \end{eqnarray*}$ | -4
$\begin{eqnarray*} 4*log(x+1) = -4 \end{eqnarray*}$ | -1
$\begin{eqnarray*} 4*log(x) = -5 \end{eqnarray*}$ | :4
$\begin{eqnarray*} log(x) = -5/4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = e^-5/4 \end{eqnarray*}$

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