Isomorphie unendlich Dimensionaler Vektorräume

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PeterSchmitt Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie unendlich Dimensionaler Vektorräume
Hallo,
laut einem Beispiel sind unendlich dimensinale Vektorräume im Allgemeinen nicht isomorph, unzwar: Abb[N;Q] und Abb (N;Q).

Aber wo ist der Unterschied zwischen Abb[N;Q] und Abb (N;Q)? Und wieso ist der eine Raum abzählbar und der andere überabzählbar unendlich?

Dankeschön!

Peter smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu müßtest du die Definition von Abb[...] bzw. Abb(...) erläutern. Das ist keine allgemeingültige Bezeichnung, sonder vorlesungs- oder sogar aufgabenblattabhängig.
PeterSchmitt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nochmal das komplette Skript durchsucht und versteckt in einem Beispiel die Defintionen gefunden: Abb[N, Q] ist der Raum der rationalen Nullfolgen und Abb(N,Q) der Raum der rationalen Folgen.

Aber ist dann Ab[N, Q] wirklich nur abzählbar und Abb(N, Q) überabzählbar? Eine Begündung oder Erklärung gibt es im Skript nicht, auch kein Verweis auf ein Buch o.ä.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge aller rationalen Nullfolgen ist nicht abzählbar.

Sei die n-te Primzahl.
Durch sind vermöge der Wahlmöglichkeit überabzählbar viele rationale Nullfolgen gegeben. (Sogar mit der Eigenschaft, dass sich kein Folgenglied wiederholt)
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß zwar nicht, ob das zielführend ist, aber ich kann es ja mal versuchen.

sei der -Vektorraum der rationalen (Cauchy-)Folgen und der Untervektorraum der rationalen Nullfolgen. Beides kann man leicht prüfen. Formaler lautet der Text von eben:

und


Dann ist , letzterer sei ein -Vektorraum. Aber warum gilt das?

Man betrachte die Abbildung . Diese ist offensichtlich linear (ebenfalls leicht zu prüfen).

Was man zeigen muss, ist, dass surjektiv ist. Sei hierzu bel. Wähle ein , das in liegt. Dann ist , somit eine Cauchyfolge und das Bild von unter ist . Weiterhin ist . Daraus folgt, dass . Aus dem Isomorphiesatz bekommt man nun .

Daß der Vektorraum über die Dimension besitzt, kann man sich auf verschiedene Weise überlegen. Dazu kann man zeigen, dass die Logarithmen von endlich vielen Primzahlen linear unabhängig sind über unter der Ausnutzung der Tatsache, dass es

a) unendlich viele Primzahlen gibt (das müsste man auch erst zeigen, aber kann man sich schnell überlegen) und

b) die Primfaktorzerlegung in bei (gekürzten) Brüchen injektiv ist.

Damit hätte man gezeigt, dass überabzählbar ist und somit auch , da man trotz des Herausfaktorisierens von die Isomorphie zu bekommt.


Ibn Batuta
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Daß der Vektorraum über die Dimension besitzt, kann man sich auf verschiedene Weise überlegen.


Man kriegt sogar noch etwas mehr, wenn man sich mal überlegt:

Das -Erzeugnis einer abzählbaren Teilmenge eines -Vektorraums ist abzählbar.

Foglich besitzt jeder überabzählbare -Vektorraum keine abzählbare Basis, ist also überabzählbar-dimensional.
 
 
PeterSchmitt Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank an euch beide, jetzt mir einiges klarer, auch was Faktorräume angeht. smile

Folgende Fragen bleiben noch:

- Also ist mein Skript in diesem Punkt dann falsch, dass Abb[N,Q] abzählbar ist?


-Aso sind Abb(N,Q) und Abb[N, Q] beide unendlich-dimensional, aber nicht isomorph (Da bereits V/U isomorph zu R ist)l?


Und noch eine Frage:
Zitat:
Original von Ibn Batuta
...
Man betrachte die Abbildung . Diese ist offensichtlich linear (ebenfalls leicht zu prüfen).

Was man zeigen muss, ist, dass surjektiv ist....


Sollte es hier nicht heißen?

Danke!

Bis dann,
Peter
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

ist isomorph zum Vektorraum über und somit "überabzählbar-unendlichdimensional".

Die Frage, die es noch zu klären gibt. Welche Dimension hat der Untervektorraum ? Ist er unendlichdimensional? Wenn ja, abzählbar oder überabzählbar-unendlichdimensional?

Und zu dem hier:

Zitat:
Sollte es hier nicht heißen?


Nein.


Ibn Batuta
PeterSchmitt Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich meine es jetzt besser zu verstehen, was du geschrieben hast. Das scheint wohl sein sehr kniffliges Problem zu sein.


Gibt es vielleicht ein anderers Beispiel für unendlich dimensionale Vektorräume, die nicht isomoprh sind, welches auch leichter zu verstehen ist?

Vielen Dank,
Peter
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

und (als Q-Vektorraum) sind z.b. nicht isomorph, was sehr leicht einzusehen ist, da ersterer abzählbar erzeugt ist, jedoch nicht, wie auch schon in diesem Thread diskutiert wurde.
PeterSchmitt Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Das Beispiel ist verständlich smile
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