Extremwertaufgabe

25.09.2011, 19:17

Molle

Extremwertaufgabe

Meine Frage:
Mein Lehrer hat uns vor Kurzem folgende Extremwertaufgabe gestellt:

Ein Kessel besteht aus einer Halbkugel mit aufgesetztem "Zylindermantel" (mit Deckel!).
Wie sind die Maße zu wählen, damit ein größtmögliches Volumen entsteht?

Weitere Angaben hat mein Lehrer dazu leider nicht gemacht, es wäre super wenn mir jemand helfen könnte!

Meine Ideen:
Die Höhe des Kessels habe ich bereits berechnet:

$\begin{eqnarray*} h= \frac{O}{2} \cdot \pi \cdot r - 3/2\cdot r \end{eqnarray*}$

Und auch r, den Radius des "Deckels" :

$\begin{eqnarray*} r= \sqrt{\frac{O}{5\cdot \pi } } \end{eqnarray*}$

Nun muss man ja r in die Funktion von h einsetzten und vereinfachen, dort komme ich aber nicht weiter.

25.09.2011, 22:50

Mathewolf

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe

Zitat:

Original von Molle
Meine Ideen:
Die Höhe des Kessels habe ich bereits berechnet:

$\begin{eqnarray*} h= \frac{O}{2} \cdot \pi \cdot r - 3/2\cdot r \end{eqnarray*}$

Und auch r, den Radius des "Deckels" :

$\begin{eqnarray*} r= \sqrt{\frac{O}{5\cdot \pi } } \end{eqnarray*}$

Nun muss man ja r in die Funktion von h einsetzten und vereinfachen, dort komme ich aber nicht weiter.

Deine Lösung ist leider Falsch.
Alleine deine Lösung für die Höhe kann ja schon wegen den Einheiten her nicht stimmen. h wäre ja dann eine Volumengröße. Ist sie aber nicht.

h und r sollen so bestimmt werden, dass der Körper bei gegebener Oberfläche O maximal wird. Deine Aufgabe ist es jetzt, eine geeignetge Funktion für dieses Problem zu finden.

Nun stell doch mal Haupt und Nebenbedingung für das Problem auf.
Tipp: Das Volumen soll maximal werden. Also, welche Formel wird dann wohl die Hauptbedingung sein und zur Zielfunktion führen?

26.09.2011, 19:46

Molle

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Ja, die Hauptbedingung ist es, ein größtmögliches Volumen zu bekommen, d.h. man braucht die Volumenformeln vom Zylinder und von der Halbkugel:

Zylinder: $\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot r²\cdot h \end{eqnarray*}$

Halbkugel: $\begin{eqnarray*} V= \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r³ \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

Volumen des Kessels: $\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot r²\cdot h+ \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r³ \end{eqnarray*}$

Doch um die Hauptbedingung zu erfüllen, muss ich ja zuerst die Nebenbedingung (Oberfläche des Kessels) nach h auflösen um es dann in V einzusetzten.

=> $\begin{eqnarray*} V(r)=-\frac{5}{6} \cdot \pi \cdot r³+\frac{O}{2} \cdot r \end{eqnarray*}$

Wie ich gerade bemerke, habe ich mich in meinem ersten Beitrag verschrieben:

V'(r)= $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{O}{5\cdot \pi } } \end{eqnarray*}$ und das ist das max. Volumen

Und um h dann letztendlich rauszubekommen müssen wir ja r wiederum in die Gleichung für h einsetzten.
Und bei diesem Punkt komme ich dann nicht weiter weil ich den Term nicht vereinfachen kann:

h= $\begin{eqnarray*} h=\frac{O}{2\cdot \pi \cdot r} - \frac{3}{2} \cdot r \end{eqnarray*}$

r= $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{O}{5\cdot \pi } } \end{eqnarray*}$

27.09.2011, 08:32

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Bis jetzt habe ich noch keine Formel gesehen, mit der du die Oberfläche des Kessels berechnest.

27.09.2011, 16:02

Molle

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ist ok, hat sich jetzt erledigt wir haben das heute in der Schule besprochen, aber trotzdem danke smile

Neue Frage »

Antworten »

Extremwertaufgabe

Verwandte Themen