eulersche gerade

27.06.2004, 19:59

matheamateur

eulersche gerade

Hallo Leude,
Brauche unbedingt Hilfe:
Ich muss beweisen, dass sich die Schnittpkte der Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden und Seitenhalbierenden (je ein Schnittpkt) in einem beliebigen Dreieck sich auf einer Geraden befinden. (eulersche Gerade)
Und das Ganze mit Vektorrechnung. Brauche zumindest einen Ansatz, wäre dafür sehr dankbar.

27.06.2004, 20:35

grybl

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RE: eulersche gerade
Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (Inkreismittelpunkt) liegt nicht auf der Euler'schen Geraden!!

Seitenhalbierende: -> Schwerpunkt (würde ich sagen)
Mittelpunkt einer Seite berechnen M=(A+B)/2, Vektor von M zu gegenüberliegenden Eckpunkt aufstellen -> Parameterform der Geraden
etwas schneller :S=(A+B+C)/3

Mittelsenkrechte: -> Umkreismittelpunkt
Mittelpunkt einer Seite berechnen M=(A+B)/2, Richtungsvektor der Seite ist Normalvektor der Senkrechten -> Normalform der Geraden

Höhe: -> Höhenschnittpunkt
Richtungsvektor der Seite ist Normalvektor der Höhe und gegenüberliegenden Eckpunkt -> Normalform der Geraden

Klarer Weise jeweils 2 Gerade aufstellen und die dann schneiden.

Für die Euler'sche Gerade kannst du dann zwei Punkte aus H,S und U auswählen, um sie aufzustellen.

Der Vollständigkeit halber:

Winkelhalbierende:
Einheitsvektoren der Seiten, die den Winkel einschließen addieren -> Richtungsvektor der Winkelsymmetrale + Eckpunkt -> Parameterform der Geraden

Wink

27.06.2004, 22:53

Leopold

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Wähle den Umkreismittelpunkt M als Ursprung: O=M. Die Ortsvektoren der Punkte A,B,C,S (=Schwerpunkt), H (=Höhenschnittpunkt) bezüglich O seien
$\begin{align*} \vec{a} = \vec{OA} \ , \ \vec{b} = \vec{OB} \ , \ \vec{c} = \vec{OC} \ , \ \vec{h} = \vec{OH} \ , \ \vec{s} = \vec{OS} \end{align*}$

Ferner gilt wegen O=M: $\begin{align*} \vec{a}^2 = \vec{b}^2 = \vec{c}^2 \end{align*}$

Ein Normalenvektor der Höhe auf AB ist $\begin{align*} \vec{a} - \vec{b} \end{align*}$ . Damit hat die Höhe die Gleichung

$\begin{align*} (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{x} - \vec{c}) \ = \ 0 \end{align*}$

Und jetzt setzt du einfach den Vektor $\begin{align*} \vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \end{align*}$ ein, und du wirst feststellen, daß der zugehörige Punkt P auf der Höhe von AB liegt.

Und analog kannst du zeigen, daß P auch auf der Höhe von BC und der Höhe von AC liegt. Somit muß P=H gelten, d.h. $\begin{align*} \vec{h} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3\vec{s} \end{align*}$ .

Hierbei wird die bekannte Tatsache $\begin{align*} \vec{s} = \frac{1}{3} $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ \end{align*}$ mitverwendet.

Und jetzt hast du gezeigt (beachte O=M): $\begin{align*} \vec{MH} = 3 \vec{MS} \end{align*}$

Damit weißt du nicht nur, daß M,S,H auf einer Geraden liegen, sondern darüberhinaus, daß S die Strecke MH im Verhältnis 1:2 teilt.

Beweis nach Max Koecher, Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Springer 1983

28.06.2004, 23:02

matheamateur

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Vielen, vielen Dank für eure Mühe, allerdings werde ich nicht ganz schlau daraus.
Ich versteh bei Leopold den Schritt nicht:

Zitat:

Ein Normalenvektor der Höhe auf AB ist a-b . Damit hat die Höhe die Gleichung
(a-b)*(x-c)=0

Und zu grybl: wieso ist Der Mittelpkt einer Seite (A+B)/2, muss das nicht A-B heißen?

trotzdem danke

29.06.2004, 09:19

grybl

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M=(A+B)/2 stimmt, A-B ist der Vektor.

smile