Partielle Integration

26.09.2011, 15:01

betze

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Partielle Integration

Meine Frage:
Hallo,

meine Frage bezieht sich auf den Anhang. Ein Bsp der partiellen Integration.
Leider durchblicke ich an diesem konkreten Bsp. nicht den Ablauf. Kann mir jemand vllt. erklären was dort ab dem ? gemacht wird.
Erkenne das leider nicht:-(

Meine Ideen:
Vielen Dank

betze

26.09.2011, 15:10

klarsoweit

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RE: Partielle Integration
Da, wo dein Fragezeichen steht, hast du eine Gleichung der Form:

A = B + C - A

Das hat man einfach nach A aufgelöst und erhält $\begin{eqnarray*} A = \frac 1 2 \cdot (B + C) \end{eqnarray*}$ . smile

smile

26.09.2011, 15:30

betze

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das ist ja schon mal ein Anfang.
Leider verstehe ich den Zusammenhang gar nicht. Warum wird das gemacht. Wie kommt man darauf?

26.09.2011, 15:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von betze
Warum wird das gemacht.

Weil man damit zur Lösung kommt. smile

smile

Zitat:

Original von betze
Wie kommt man darauf?

Indem man die Augen aufmacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also jetzt lassen wir mal den ganzen Integrationskrempel beiseite. Du hast eine Gleichung der Form A = B + C - A, wobei du die Werte von B und C kennst, und willst wissen, was A ist. Also löst man die Gleichung nach A auf. Das ist doch nichts neues. Das hat man schon in der 7. Klasse gemacht.

26.09.2011, 18:34

betze

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Hi nochmal,

habe mich mal bisschen mit beschäftigt.

Der Grundgedanke kommt ja eigentlich nur weil ich mit dem "normalen" Weg der partiellen Integration immer wieder im Kreis drehe oder?
Am Anfang steht .... * sin(x)
1. Schritt wird das hinten zu .... *-cos(x) bzw. umgeschrieben mit dem minus davor .... * +cos(x)
2. Schritt wird das hinten zu ...... * sin(x)

Wir wären wieder am Anfang und es würde immer so weiter gehen. -> führt nicht zur Lösung.

Nun schaue ich mir das an.
Schreibe das hintereinander gereiht auf

vorne das was am Anfang stand = die 2. fertigen Teilschritte (in dem Fall b+c) - was nun noch übrig bleibt und dasselbe ist wie vorne

vorne steht das selbe wie hinten also = A
dann ist A=B+C-A

umgestellt: 2A =B+C

geteilt durch 2 -> A= 1/2 * (B+C) oder wie hier genau steht: 1/2 (C+B)

Ist die dargestellte Verfahrensweiße so richtig wenn auch dumm ausgedrückt? Sorry dafür Gott

Gott

War nun meine eigene ERklärung soweit... Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank "klarsoweit" !!!

26.09.2011, 23:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von betze
Der Grundgedanke kommt ja eigentlich nur weil ich mit dem "normalen" Weg der partiellen Integration immer wieder im Kreis drehe oder?

Im Prinzip ja.

Zitat:

Original von betze
Ist die dargestellte Verfahrensweiße so richtig wenn auch dumm ausgedrückt?

So dumm ist deine Beschreibung gar nicht, eher das Gegenteil. smile

smile

Es heißt aber "Verfahrensweise". Schließlich wird da nichts weiß gemacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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27.09.2011, 00:28

betze

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da hast du wohl recht....aber wie heißt es so schön.....man lernt nie aus Lehrer

Lehrer

Vielen Dank und eine gute Nacht! Wink

Wink

27.09.2011, 12:23

betze

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Hallo nochmal,

wollte nicht extra einen neuen Thread aufmachen. Handelt sich ja eh um das gleiche Thema.

Wäre nett wenn du mir da nochmal nachhelfen könntest, nachdem du gestern schon so überzeugt hast LOL Hammer

LOL Hammer

$\begin{eqnarray*} \int \! sin^{2}(wt) \, dt \end{eqnarray*}$

ist das jetzt eigentlich = sin(wt) * sin(wt) oder sin * sin(wt) ???

Und dann soll ich das integrieren? Das wt verwirrt mich dabei etwas:-)

27.09.2011, 12:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von betze
ist das jetzt eigentlich = sin(wt) * sin(wt)

Dieses ist richtig.

Zitat:

Original von betze
Und dann soll ich das integrieren? Das wt verwirrt mich dabei etwas:-)

Das w (es steht eigentlich für das griechische omega) ist nur ein konstanter Faktor.

Du machst eine partielle Integration und ersetzt das entstehende cos²(...) mit dem trigonometrischen Phytagoras.

27.09.2011, 13:25

betze

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ich werde mich gerade mal ransetzen und melde mich dann gleich wieder Wink

Wink

LG;
betze

27.09.2011, 13:41

betze

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Mhhh irgendwas hängt noch verwirrt

verwirrt

Habe mal angefangen. Ich sage mal Zwischenschritte, damit ich nicht alles auflisten muss.

nach dem 1. schritt steht dann vorne zu integrieren cos(wt)²
das gibt dann [sin(wt)*cos(wt] - INT [sin(wt)*(-sin(wt)]

das heißt hinten das ist wieder dasselbe wie am Anfang.
Dann kommt ja wieder: A=B+C (und nun steht hinten +A).

Das kann ja nicht sein, denn würde ich nun -A rechnen, fällt es ja raus. Wo liegt der Fehler "klarsoweit"?????

Danke!

27.09.2011, 14:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von betze
nach dem 1. schritt steht dann vorne zu integrieren cos(wt)²

Wieso habe ich dazu eigentlich einen Tipp gegeben? verwirrt

verwirrt

Beachte auch: eine Stammfunktion von sin(wt) ist nicht -cos(wt), wie du auch leicht feststellst, wenn du mal -cos(wt) ableitest. smile

smile

27.09.2011, 15:04

betze

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cos² = 1 - sin²

ABER:

cos abgeleitet ist doch -sin und dann ist -cos abgeleitet +sin.

Danke dir .... Freude

Freude

27.09.2011, 22:22

betze

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Wer kann helfen?
Sorry das ich drängel unglücklich

unglücklich

28.09.2011, 08:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von betze
cos abgeleitet ist doch -sin und dann ist -cos abgeleitet +sin.

Das habe ich auch nicht bezweifelt, aber trotzdem ist die Ableitung von -cos(wt) nicht sin(wt).

28.09.2011, 10:39

betze

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sin(wt) * w??? verwirrt

verwirrt

28.09.2011, 11:21

klarsoweit

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Richtig. Entsprechend mußt du aufpassen, wenn du mit Stammfunktionen und Ableitungen hantierst.

28.09.2011, 11:31

betze

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jetzt weiß ich leider gar nicht weiter

dann käme in Zeile eins hinten schon als Integral
cos(wt)² * wt

und wie stelle ich das dann wieder nach vorne?

Brauche dringend hilfe klarsoweit Gott

Gott

28.09.2011, 11:48

klarsoweit

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Also so schwer kann das doch gar nicht sein.

Es ist $\begin{eqnarray*} \int sin(wt) \cdot sin(wt)~dt = -\frac 1 w cos(wt) \cdot sin(wt) - \int -\frac 1 w cos(wt) \cdot w \cdot cos(wt)~dt \end{eqnarray*}$

Jetzt müßtest du das alleine schaffen, wenn du $\begin{eqnarray*} cos(wt) \cdot cos(wt) = 1 - sin(wt) \cdot sin(wt) \end{eqnarray*}$ beachtest.

28.09.2011, 12:03

betze

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$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! 1-sin(wt)^{2} dt = \left[x-sin(wt)^{2}\right] -\int_a^b \! x*2sin(wt) * cos(wt) * w \, dt \, \end{eqnarray*}$

???

Ich checks nicht unglücklich

unglücklich

28.09.2011, 12:21

klarsoweit

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Ei, was machst du denn da? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int (1-sin^2(wt)) ~dt = t - \int sin^2(wt) ~dt \end{eqnarray*}$

Jetzt bastel alles zusammen und bringst das Integral auf die linke Seite.

28.09.2011, 12:30

betze

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Mir entzieht sich dein Rechengang. Ich kapiere es glaube ich nie.
Es heißt doch ein Teil ist u und einer abgel.v also v` und dann wie kommst du auf die kurze Zeile?

28.09.2011, 12:42

klarsoweit

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Also das ganze mal im Zusammenhang:

$\begin{eqnarray*} \int sin(wt) \cdot sin(wt)~dt = -\frac 1 w cos(wt) \cdot sin(wt) - \int -\frac 1 w cos(wt) \cdot w \cdot cos(wt)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\frac 1 w cos(wt) \cdot sin(wt) + \int (1 - sin(wt) \cdot sin(wt))~dt = -\frac 1 w cos(wt) \cdot sin(wt) + \int 1 ~dt - \int sin(wt) \cdot sin(wt)~dt \end{eqnarray*}$

Insgesamt also:

$\begin{eqnarray*} \int sin(wt) \cdot sin(wt)~dt = -\frac 1 w cos(wt) \cdot sin(wt) + t - \int sin(wt) \cdot sin(wt)~dt \end{eqnarray*}$

Das kannst du jetzt nach dem gesuchten Integral auflösen.

28.09.2011, 12:52

betze

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$\begin{eqnarray*} \int\! sin^{2}(wt) dt = -1/2 *\frac{cos(wt)sin(wt)}{w} +t/2 \, \end{eqnarray*}$

?

28.09.2011, 13:07

klarsoweit

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Wieso Fragezeichen? Leite das ab und du wirst sehen, daß das richtig ist. smile

smile

28.09.2011, 13:10

betze

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YEEEEEEEEEEEEEEEEES Gott

Gott

Jetzt habe ich dich so lange damit aufgehalten das du sicher nicht noch eine Frage von mir möchtest, richtig?
Geht um einen Bruch wo der Zähler-Exp größer wie der Nenner-Exp ist.
Bräuchte da mal ne Anfangs-Idee.

28.09.2011, 13:19

klarsoweit

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Mache eine Polynomdivision mit Rest.

Und beim Komparativ nimmt man das Wörtchen "als", nicht "wie". smile

smile

28.09.2011, 13:25

betze

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mache ich immer falsch. Danke für den Hinweis Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{3x^{3} +2x+1}{2x^{2} +5} dx \end{eqnarray*}$

Polynomdivision hatte ich schon vorher:

$\begin{eqnarray*} 1,5x * \frac{-5,5x+1}{2x^{2}+5 } \end{eqnarray*}$

EDIT: Latex verbessert

28.09.2011, 13:41

klarsoweit

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Richtig ist natürlich $\begin{eqnarray*} 1,5x + \frac{-5,5x+1}{2x^{2}+5 } \end{eqnarray*}$ . smile

smile

28.09.2011, 14:30

betze

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genau

Freude

aber nun zu meinem Knackpunkt.

Ich möchte ja gerne einen Koeffizientenvergleich aufs Blatt bringen.

was bleibt dann stehen der gesamte Audruck?

???????? = A/? + B/? ....

Das Aufstellen ist mir nicht plausibel leider Gottes....

28.09.2011, 14:37

klarsoweit

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Also man braucht sich ja eigentlich nur noch um den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{-5,5x+1}{2x^2+5} \end{eqnarray*}$ kümmern. Da im Nenner nur ein quadratisches Polynom steht und dieses keine reellen Nullstellen hat, hat sich das Thema Partialbruchzerlegung erledigt.

Also muß man das Ding direkt integrieren, aber vorher noch etwas umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-5,5x+1}{2x^2+5} = - \frac{5,5}{4} \cdot \frac{4x}{2x^2+5} + \frac{1}{2x^2+5} \end{eqnarray*}$

Mit den passenden Substitutionen kommt man dann auf Grundintegrale.

28.09.2011, 14:52

betze

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Also erstens wäre ich als normalsterblicher niemals darauf gekommen. Nach der Polynomdivision wäre Ende:-D

Dann umformen erst recht nicht

Auf Jedenfall habe ich nun: -5,5/4 * ln(2x²+5) + arctan (2x) +c und hoffe das es endlich mal stimmt bei mir.....

Noch am Rande:

Stände im Nenner z.B. 2x²+2x+5 wäre das was anderes ne? Ich müsste die Nullstellen bestimmen. Es würde davon 2 geben wegen dem ^2. Wenn die sagen wir x=3 und x= -1/2 WÄREN.

Würde dann sowas dort stehen...

A B
-------- + -------
(x-3) (x+0,5)

28.09.2011, 15:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von betze
Auf Jedenfall habe ich nun: -5,5/4 * ln(2x²+5) + arctan (2x) +c und hoffe das es endlich mal stimmt bei mir.....

Das mit dem arctan(2x) stimmt nicht. Leite es zur Probe mal ab.

Zitat:

Original von betze
Würde dann sowas dort stehen...

A B
-------- + -------
(x-3) (x+0,5)

Im Prinzip ja. Allerdings hat das Polynom 2x²+2x+5 weder diese noch überhaupt reelle Nullstellen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.09.2011, 15:20

betze

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...5arctan("wurzel aus 2/5")

sorry für die Schreibweise.

Und das andere war ja nur so ein Beispiel ob ich richtig denke:-D

Was muss man denn machen wenn die Exponenten dieselbe Ordnung haben?

28.09.2011, 15:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von betze
...5arctan("wurzel aus 2/5")

Na, ja. Einigen wir uns auf $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{\frac 5 2}}{5} \cdot arctan(\sqrt{\frac 2 5} \cdot x) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von betze
Was muss man denn machen wenn die Exponenten dieselbe Ordnung haben?

Auch Polynomdivision mit Rest. smile

smile

28.09.2011, 15:38

betze

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Waaaaaaaas ist daaaaaaaaaassssssss? traurig

traurig

Gott

28.09.2011, 15:44

klarsoweit

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Wenn du die Stammfunktion meinst: leite mal deine und meine ab. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.09.2011, 15:52

betze

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Ja ich weiß aber ich weiß nicht wie der Weg dahin ist....kann man das nicht mal allgemein in einer Formel aufschreiben für dumme Big Laugh

Big Laugh

28.09.2011, 15:55

klarsoweit

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Allgemeine Formeln findest du in der Formelsammlung. smile

smile

28.09.2011, 15:58

betze

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mhh okay...trotzdem vielen Dank! Freude

Freude

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