Zweiergruppen (Kombinatorik)

26.09.2011, 17:57

Gast11022013

Zweiergruppen (Kombinatorik)

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Kombinatorik-Aufgabe, bei der ich bei einer Teilaufgabe keine Idee habe und zwar geht's um Folgendes:

In einer Sportgruppe, bestehend aus 4 Mädchen und 4 Jungs, sollen Zweiergruppen gebildet werden:

Mädchen:

Lara
Olga
Vera
Elke

Jungs:

Marc
Axel
Timo
Hans

Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn in einer Gruppe

a) nur Mädchen oder nur Jungs sind?

b) jeweils ein Mädchen und ein Junge sein sollen?

c) es keine Bedingungen gibt?

Meine Ideen:
a) Für die Mädchen gibts 6 Möglichkeiten, für die Jungs auch, das macht 36 Möglichkeiten. Teilen muss man das dann noch durch 4. Macht 9 Möglichkeiten.

b) Dem ersten Mädchen kann man 4 Jungs zuordnen, dem zweiten Mädchen nur noch 3 und so weiter. Macht 4!=24 Möglichkeiten.

c) Wie macht man das?

26.09.2011, 18:07

Math1986

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RE: Zweiergruppen (Kombinatorik)
a) Weshalb teilst du hier am Ende noch durch 4? verwirrt

Bis dahin konnte ich dir noch folgen
b) Richtig!
c) Man wirft hier einfach alle Kinder in einen Topf und bildet aus den 8 Schülern insgesamt 4 Zweiergruppen.

26.09.2011, 18:11

Gast11022013

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RE: Zweiergruppen (Kombinatorik)
Zunächst: Die Aufgabe ist diese hier:

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...g/interaufg344/

Wenn man meine Ergebnisse für a) und b) eingibt, wird das als korrekt angezeigt.

Ich teile bei a) durch 4, weil 4 Gruppen gebildet werden.

Bei c) habe ich 105 heraus.

26.09.2011, 18:15

Math1986

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RE: Zweiergruppen (Kombinatorik)
a) Kann ich gerade nicht nachvollziehen die Begründung.. unglücklich

Ich sehe auch nicht, wie man hier in die Situation kommen sollte, bei diesem Verfahren eine Gruppenkombination mehrfach zu zählen.
Bitte genauer begründen!

c) Poste mal den Rechenweg

26.09.2011, 18:19

Gast11022013

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RE: Zweiergruppen (Kombinatorik)
a) Ich erkläre mir das Dividieren durch 4 so:

Man bildet ja Gruppe 1, Gruppe 2, Gruppe 3 und Gruppe 4.
Wenn man jetzt zum Beispiel Vera und Elke eine Gruppe bilden läßt, so können sie Gruppe 1, Gruppe 2, Gruppe 3 oder aber Gruppe 4 bilden. Daher muß man am Ende jeweils diese 4 Möglichkeiten wieder abziehen.

c) Ich rechne hier $\begin{eqnarray*} 7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=105 \end{eqnarray*}$ . Man wähle irgendeine Person von den 8 Personen. Diesem ordne man eine Person zu, wozu man 7 Möglichkeiten hat. Dann ordne man der nächsten Person eine Person zu; dazu hat man dann noch 5 Möglichkeiten und so weiter.

26.09.2011, 18:44

Math1986

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RE: Zweiergruppen (Kombinatorik)

Zitat:

Original von Dennis2010
a) Ich erkläre mir das Dividieren durch 4 so:

Man bildet ja Gruppe 1, Gruppe 2, Gruppe 3 und Gruppe 4.
Wenn man jetzt zum Beispiel Vera und Elke eine Gruppe bilden läßt, so können sie Gruppe 1, Gruppe 2, Gruppe 3 oder aber Gruppe 4 bilden. Daher muß man am Ende jeweils diese 4 Möglichkeiten wieder abziehen.

Es ist aber völlig egal, ob sie Gruppe 1,2,3 oder 4 bilden! Darauf kommt es nicht an!

Ich komme nun aber auf das selbe Ergebnis, nur ist deine Begründung so nicht richtig:

Wenn du aus den 4 Jungen zwei Zweiergruppen bildest, dann hast du $\begin{eqnarray*} {4\choose 2} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.
Hier musst du aber bedenken, dass du, wenn du {Marc,Axel} ziehst, die selben zwei Gruppeneinteilung erhälst wie wenn du {Timo,Hans} ziehst, da die restlichen beiden automatisch eine Zweiergruppe bilden.
Jede Gruppenkombination ist also doppelt aufgetreten!
Selbes bei den Mädchengruppen!
Du teilst also beides durch 2, also insgesamt durch 4

Schreib dir hier bei Mädchen und Jungen mal auf, welche Kombinationen möglich sind, als ich das gemacht habe ist es mir auch klar geworden smile

Nachtrag:
Die "eleganteste" Argumentation wäre wohl so:
Lara fängt an, sich einen Partner zu suchen. Dazu hat sie 3 Möglichkeiten. Die anderen beiden bilden automatisch eine Gruppe.
Selbes bei den Jungen, auc hier gibt es 3 Kombinationen.

Zusammen kommt man auf 3*3=9

Zitat:

Original von Dennis2010
c) Ich rechne hier $\begin{eqnarray*} 7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=105 \end{eqnarray*}$ . Man wähle irgendeine Person von den 8 Personen. Diesem ordne man eine Person zu, wozu man 7 Möglichkeiten hat. Dann ordne man der nächsten Person eine Person zu; dazu hat man dann noch 5 Möglichkeiten und so weiter.

Ja, so kann man argumentieren.

26.09.2011, 19:00

Gast11022013

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RE: Zweiergruppen (Kombinatorik)
Meinst Du Folgendes:

$\begin{eqnarray*} (Marc, Axel)\Rightarrow (Timo, Hans) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (Marc, Timo)\Rightarrow (Axel, Hans) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (Marc, Hans)\Rightarrow (Axel, Timo) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (Axel, Timo)\Rightarrow (Marc, Hans) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (Axel, Hans)\Rightarrow (Marc, Timo) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (Timo, Hans)\Rightarrow (Marc, Axel) \end{eqnarray*}$

Nun sind ja nur die Paarungen auf der rechten Seite von Bedeutung; es werden aber alle Paarungen dadurch doppelt gezählt, daß bestimmte Paarungen andere Paarungen implizieren?

26.09.2011, 19:03

Math1986

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RE: Zweiergruppen (Kombinatorik)
Nein, nicht ganz.
Es sind durchaus beide Seiten interessant, da wir ja zwei Teams bilden wollen
Man sieht hier auch, dass bspw $\begin{eqnarray*} (Marc, Axel)\Rightarrow (Timo, Hans) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (Timo, Hans)\Rightarrow (Marc, Axel) \end{eqnarray*}$ insgesamt die selben Gruppen bilden.
Du hast also nur 3 verschiedene Paarungen.

PS: Siehe auch mein Nachtrag.

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