Fallunterscheidungen bei Ungleichungen

26.09.2011, 18:00	studiosus	Auf diesen Beitrag antworten »
Fallunterscheidungen bei Ungleichungen Meine Frage: Hallo zusammen! Auf der Suche nach einer Erklärung bin ich auf dieses Forum gestoßen und hoffe, dass mir jemand weiter helfen kann... Mir ist das Vorgehen bei einer Fallunterscheidung nicht ganz klar. Bei folgender Aufgabe habe ich zunächst die Nullstelle (1) bestimmt. D.h. durch diese kann man nicht teilen... $\begin{eqnarray} \frac{1}{x}\leq x \end{eqnarray}$ was mir jetzt nicht mehr so einleuchtet ist das weitere Vorgehen.... Im nächsten Schritt muss doch untersucht werden was passiert, wenn x>0 bzw. x<0 gilt? Da dies in diesem Themengebiet meine erste Aufgabe ist, wäre es nett, wenn jemand die Aufgabe mit Zwischenschritt lösen könnte... Danke schon mal Meine Ideen: leider keine genauen
26.09.2011, 18:42	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Am sinnvollsten ist es vermutlich erst einmal zwei Beispiele zu rechnen: 1) Gilt $\begin{eqnarray} \frac 12<2 \end{eqnarray}$ ? Offensichtlich ja. Um den Bezug zur Aufgabe zu erhalten, vollführen wir aber trotzdem einen Rechenschritt: Wir beseitigen den Nenner indem wir die Ungleichung mit ihm multiplizieren: $\begin{eqnarray} 1=2\cdot \frac 12<2\cdot 2 = 4 \end{eqnarray}$ Diese Aussage ist eindeutig korrekt, also auch unsere Ausgangsungleichung. 2) Gilt $\begin{eqnarray} \frac 1{-3}<3 \end{eqnarray}$ ? Auch hier lautet die Antwort ganz offensichtlich ja. Dennoch auch hier der Rechenschritt von oben: $\begin{eqnarray} 1=(-3)\cdot \frac 1{-3}>(-3)\cdot 3=-9 \end{eqnarray}$ Wieder entsteht eine wahre Aussage, allerdings ist etwas anders: Das Ordnungszeichen hat sich umgedreht. Warum ist das so? Betrachte hierzu den Zahlenstrahl. Wenn wir mit einer negativen Zahl multiplizieren (oder durch diese dividieren), spiegelt sich das Problem vom positiven ins negative (oder umgekehrt). Die Anordnung dreht sich also genau um und somit auch das Ordnungszeichen. Beispiel: 1<2 aber -1>-2 Dies ist die wesentliche Regel bei der Betrachtung von Ungleichungen. Ansonsten lässt sich mit ihnen genau so rechnen, wie mit Gleichungen. Wenn Du das beachtest, sollte dir die Aufgabe recht leicht fallen.
26.09.2011, 18:42	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo studiosus, was ist denn die Aufgabe? Das hast du gar nicht verraten. Ich nehme an, du sollst alle x bestimmen, für die diese Ungleichung gilt? Dann hast du Recht, wir brauchen Nullstellen, allerdings die des Nenners links. Und dann musst du tatsächlich unterscheiden, ob x > bzw. < 0 ist. Du hast also die richtige NS erkannt, wieso schreibst du kurz davor 1? Mach mal ruhig weiter, du bist auf dem richtigen Weg, Lösungen gibt es hier nämlich nicht, wir erarbeiten sie gemeinsam. Edit: Punktlandung für das Helferlein.
27.09.2011, 10:30	studiosus	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Da hast du mir wirklich weiter geholfen!

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