char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren

26.09.2011, 18:09

Towelie90

char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren

Meine Frage:
Wie sieht es aus, wenn das charakteristische Polynom einer bsp. 3x3 Matrix nicht in Linearfaktoren zerfällt?
Und wann genau sehe ich, dass es in LF zerfällt.

Meine Ideen:
Bisher habe ich das einfach immer dahinter geschrieben, wenn
$\begin{eqnarray*} det (A-\lambda\cdot E) \end{eqnarray*}$ irgendein Polynom ergab.

26.09.2011, 18:11

tmo

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Dann hat die Matrix halt keine 3 Eigenwerte.

Im reellen Fall erkennt man das daran, dass nach Abspalten eines Linearfaktors (den es immer gibt), der quadratische Rest irreduzibel ist.

26.09.2011, 18:15

Towelie90

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Zitat:

Original von tmo
Dann hat die Matrix halt keine 3 Eigenwerte.

Im reellen Fall erkennt man das daran, dass nach Abspalten eines Linearfaktors (den es immer gibt), der quadratische Rest irreduzibel ist.

also kann ich das auch erst nach berechnen der Eigenwerte sagen?
Wenn es 3 gibt, zerfällt das char. Polynom in LF?

27.09.2011, 01:59

TommyAngelo

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Das char. Polynom einer 3x3-Matrix zerfällt immer in mindestens einen Linearfaktor, da ein Polynom 3. Grades immer mindestens eine reelle Nullstelle hat.
Also entweder in einen oder in drei Stück zerfällt es (im Reellen).

27.09.2011, 03:09

pseudo-nym

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RE: char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren

Zitat:

Original von Towelie90
Und wann genau sehe ich, dass es in LF zerfällt.

Jedes reelle Polynom lässt sich in Linearfaktoren zerlegen. Deswegen wäre es nützlich zu wissen von welchen Polynomen du redest.

08.09.2012, 05:05

ANDREvolution

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Hier mal ein Beispiel:

Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

char. Polynom:

$\begin{eqnarray*} -x^3 + 4 x^2 - x -6 \end{eqnarray*}$

Eigenwerte:

$\begin{eqnarray*} -1,2,3 \end{eqnarray*}$

Laut Lösung zerfällt das char. Polynom in Linearfaktoren. Es ist aber nicht weiter ausgeführt wie das jetzt genau aussieht.

Wie genau zeigt man am Beispiel von diesem Polynom das es in Linearfaktoren zerfällt?

08.09.2012, 07:27

tmo

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Was haben denn Linearfaktoren mit Nullstellen zu tun?

Wenn du das beantwortest, kannst du dir auch deine Frage schon selbst beantworten.

10.09.2012, 09:13

ANDREvolution

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Eigenwerte = Nullstellen.

Linearfaktoren sind ja bei diesem Polynom

(x+1)(x-2)(x -3)

wenn man das ausmultipliziert bekommt man ja das Polynom

Ist das mit dem zerfallen gemeint?

Wann zerfällt das Polynom denn nicht in Linearfaktoren?

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