bestimmen des taylorschen Näherungspolynoms

26.09.2011, 20:53

moonsymmetry

bestimmen des taylorschen Näherungspolynoms

Hallo,
Ich steh bei einer Aufgabe ziemlich am Schlauch was da überhaupt zu tun ist:

Man Bestimme das taylor'sche Näherungspolynom 2.Ordnung an der Stelle $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) = (1,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = xy^2 + cos(2\pi x + y) \end{eqnarray*}$

hm okay,
habe ein bisschen in meinem Mathebuch gestöbert und da ist die Rede von einer Taylor-Reihe. die so ausschaut: $\begin{eqnarray*} f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0}{3!}(x-x_0)^3 + ... \end{eqnarray*}$

scheinbar handelt es sich bei solch einer aufgabe darum dass man die funktion f(x,y) irgendwie annähern kann mit solch einem taylorpolynom? ist das richtig?
kann mir hier jemand auf die sprünge helfen und mir Starthilfe geben?

lg

26.09.2011, 20:55

Cel

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Dein Buch gibt dir die Formel für das Taylorpolynom / die Taylorreihe einer eindimensionalen Funktion an.

Guck dir mal meinen Artikel dazu an, da wir einiges klarer, hoffe ich.

[Artikel] Taylorapproximation

27.09.2011, 13:08

moonsymmetry

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okay danke,

nagut also wies ausschaut brauch ich wohl als erstes mal meine ganzen partiellen ableitungen. das hab ich bereits erledigt:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) =xy^2 + cos(2\pi x +y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_x(x,y) = y^2 - 2 \pi sin(2 \pi x +y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{xx}(x,y) = -4 \pi^2 cos (2 \pi x + y ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y(x,y) =2yx -sin(2 \pi x + y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{yy}(x,y) = 2x - cos(2 \pi x + y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y) = 2y -2 \pi cos ( 2 \pi x + y) \end{eqnarray*}$

passt.

Es handelt sich ja um eine zweidimensionale taylorapproximation,
also brauch ich diese Wurst hier:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) \approx T_2(x,x_0) = f(x_0) + \nabla f(x_0) (x-x_0) + \frac{1}{2} \cdot (x-x_0)^T \cdot H_f(x_0) \cdot (x-x_0) \end{eqnarray*}$

muss mir est mal im klaren werden was hier was ist.
also ich entwickle ja irgendwie im punkt $\begin{eqnarray*} (1,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ oder?
d.h.
x = 1 und x_0 = pi/2 ???

das komische dreieck bezeichnet den Gradienten. Das ist ein Vektor mit den partiellen ableitungenoder? und welche partiellen ableitungen sind hier gemeint? nach x ? nach y ? alle?
Die hesse matrix ist mir bekannt von den extrema: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder?

27.09.2011, 13:56

Cel

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OK, deine partiellen Ableitungen passen. smile

So, jetzt hast du offenbar Probleme mit deinem x, welches eindimensional ist und dem aus meinem Artikel, welches mehrdimensional ist. Das x aus dem Artikel ist hier (x,y).

Übersetzen wir mal meine Formel:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}f(x,y) & \approx & T_2\left((x,y),\left(1, \frac{\pi}{2}\right)\right) \\ & = & f\left(1,\frac{\pi}{2}\right) + \nabla f\left(1, \frac{\pi}{2}\right) \left((x,y)-\left(1, \frac{\pi}{2}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left((x,y)-\left(1, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot H_f\left(1, \frac{\pi}{2}\right) \cdot \left(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\ \frac{\pi}{2} \end{pmatrix}\right)\end{array} \end{eqnarray*}$

Das musst du nun erst mal alles ausrechnen, mit den Vektorrechenregeln aus der LinA.

Du kennst die Hessematrix, aber nicht den Gradienten? Denn deine Hessematrix stimmt, der Gradient ist einfach ein Vektor, der alle ersten partiellen Ableitungen beinhaltet. Ich schreibe ihn als Zeile: $\begin{eqnarray*} \mathrm{grad} f(x,y) = \nabla f(x,y) = (f_x, f_y) \end{eqnarray*}$

Machst du das im Selbststudium?

28.09.2011, 19:45

moonsymmetry

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ok mal ganz langsam:

Zitat:

Original von Cel

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl}f(x,y) & \approx & T_2\left((x,y),\left(1, \frac{\pi}{2}\right)\right) \\ & = & f\left(\frac{\pi}{2}\right) + \nabla f\left(1, \frac{\pi}{2}\right) \left((x,y)-\left(1, \frac{\pi}{2}\right)\right) + \frac{1}{2} \cdot \left((x,y)-\left(1, \frac{\pi}{2}\right)\right) \cdot H_f\left(1, \frac{\pi}{2}\right) \cdot \left(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\ \frac{\pi}{2} \end{pmatrix}\right)\end{array} \end{eqnarray*}$

am Anfang der zweiten zeile sollte $\begin{eqnarray*} f(1,\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ stehen oder?

ok also ich fang mal an das ganze einzusetzen:

$\begin{eqnarray*} f(1,\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2}^2 + cos (2 \pi + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{4} +0 = \frac{\pi^2}{4} \end{eqnarray*}$

ich machs mal bis zum 1/2 in der formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} + (y^2-2\pi sin (2 \pi x + y), 2yx -sin (2 \pi +y)) \cdot (x-1,y- \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$

den zweiten summand muss ich mittels skalarprodukt errechnen oder?

das ergibt bei mir $\begin{eqnarray*} y^2x - y^2 - 2\pi \, x \, sin (2 \pi x + y) + 2 \pi \, sin (2 \pi x + y) \, + \, 2y^2x - \frac{\pi}{2}2yx - y \, sin (2 \pi + y) + \frac{\pi}{2} \, sin (2 \pi + y) \end{eqnarray*}$

verwirrt

bin ich so überhaupt auf dem richtigen weg? das werden ja fürchterlich komplexe terme !?!

Zitat:

Original von Cel
Machst du das im Selbststudium?

kann man so sagen smile

28.09.2011, 20:07

Cel

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Danke für deine Anmerkung, beim ersten fehlte wirklich eine 1.

Zitat:

Original von moonsymmetry
ich machs mal bis zum 1/2 in der formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} + (y^2-2\pi sin (2 \pi x + y), 2yx -sin (2 \pi +y)) \cdot (x-1,y- \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$

den zweiten summand muss ich mittels skalarprodukt errechnen oder?

Ja, mit Skalarprodukt, aber mach es nicht zu kompliziert.

Vorne ist schließlich der Gradient an der Stelle $\begin{eqnarray*} (1, \pi/2) \end{eqnarray*}$ gesucht. Setze ein und rechne danach weiter. Außerdem fehlt bei der Ableitung nach y ein x nach dem 2*pi. Macht aber in dem Fall nichts, da das zu betrachtende x =1 ist.

28.09.2011, 23:01

moonsymmetry

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Zitat:

Original von Cel
Setze ein und rechne danach weiter.

hm 3 fragen:

hat es eine bedeutung dass bei der TaylorFormel beim dritten summand (ab 1/2) der Faktor vor dem Term mit der Hessematrix anders hingeschrieben ist als der Faktor nach dem Term mit der Hessematrix. Das ist eh das gleiche oder? nur einmal mit Zeilenschreibweiße und einmal vertikal geschrieben???

für x und y in dere formel darf ich natürlich nichts einsetzen? d.h. beispielsweise beim zweiten summand darf ich nicht zuerst alles ausmultiplizieren und zum schluss 1 und pi/2 einsetzen, sondern ich muss nur beim gradienten 1 und pi/2 für x und y einsetzen und dass dann multiplizieren mit dem vektor (x-1, y-pi/2) ...? nur um sicher zu gehn... ;P

und bei der Taylorformel gehört der Faktor vor dem H_f in den Klammern ja auch noch quadriert oder?

29.09.2011, 14:03

Cel

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3 Fragen 3 (hoffentlich verständliche) Antworten. smile

Zitat:

Original von moonsymmetry
hat es eine bedeutung dass bei der TaylorFormel beim dritten summand (ab 1/2) der Faktor vor dem Term mit der Hessematrix anders hingeschrieben ist als der Faktor nach dem Term mit der Hessematrix. Das ist eh das gleiche oder? nur einmal mit Zeilenschreibweiße und einmal vertikal geschrieben???

Einmal als Zeile und einmal als Spalte, genau. Das macht man, damit man weiß, was zu tun ist: Wenn du zuerst die Matrix mit dem Spaltenvektor hinten multiplizierst, dann bekommst du einen Spaltenvektor. Und dann steht dort die Operation Zeilen- mal Spaltenvektor, das kannst du dann einfach ausmultiplizieren. Du könntest es auch als Spalte schreiben, aber dann muss man wissen, dass das mal das Standardskalarprodukt bezeichnet. Wenn man daran denkt, dann gehen beide Schreibweisen.

Zitat:

Original von moonsymmetry
sondern ich muss nur beim gradienten 1 und pi/2 für x und y einsetzen und dass dann multiplizieren mit dem vektor (x-1, y-pi/2) ...? nur um sicher zu gehn...

Mach es genau so! Sonst kommst du durcheinander, wo du denn nun was einsetzen musst. Bilde den Gradienten an den richtigen Stelle (1, pi/2) und skalarmultipliziere dann mit (x-1, y-pi/2). smile

Zitat:

Original von moonsymmetry
und bei der Taylorformel gehört der Faktor vor dem H_f in den Klammern ja auch noch quadriert oder?

Wie möchtest du einen Vektor quadrieren? Oder als knappe Antwort: Nein. Nicht quadrieren.

29.09.2011, 15:28

moonsymmetry

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hm ich weiß nicht... wenn ich es durchrechne, komme ich auf ergebnisse die schauen so untypisch aus. irgendwo mache ich fehler. verwirrt

also der gradient ist bei mir:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(1, \frac{\pi}{2}) = ( \frac{\pi^4}{4} - 2 \pi, \pi - 1 ) \end{eqnarray*}$

okay... dergradient gehört jetzt mal multipliziert:

$\begin{eqnarray*} ( \frac{\pi^4}{4} - 2 \pi, \pi - 1 ) \cdot (x-1, y- \frac{\pi}{2}) =\frac{\pi^4 x}{4} - \frac{\pi^4}{4} - 2 \pi x + 2 \pi + \pi y - \frac{\pi^2}{2} - y + \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

hier kann man nix mehr großartig vereinfachen.. vielleicht ds ganze mit 4multiplizieren damit die brüche weg sind... aber ich lass es mal...

die Hessematrix von (1, pi/2) ist bei mir:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\pi^4}{4} - 2\pi & \pi \\ \pi & -\pi& \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die gehört jetzt malmit dem term nach der Hessematrix multipliziert.... da muss dann ein vektor herauskommen der schautbei mir schon ganz chaotisch aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\pi^4}{4} - 2\pi & \pi \\ \pi & -\pi& \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x-1 \\ y - \frac{\pi }{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\pi^2x}{4} - \frac{\pi^2}{4} - \pi x +\pi \\ x\pi - \pi - y\pi +\frac{\pi^2}{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt das denn noch? wenn ich das wiederum mit demterm vor der hesse matrix multipliziere und dann mal 1/2, dann wird der term wirklich schon recht lang und fast nix lässt sich kürzen unglücklich

29.09.2011, 16:05

Cel

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Zitat:

Original von moonsymmetry
$\begin{eqnarray*} ( \frac{\pi^4}{4} - 2 \pi, \pi - 1 ) \cdot (x-1, y- \frac{\pi}{2}) =\frac{\pi^4 x}{4} - \frac{\pi^4}{4} - 2 \pi x + 2 \pi + \pi y - \frac{\pi^2}{2} - y + \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

hier kann man nix mehr großartig vereinfachen.. vielleicht ds ganze mit 4multiplizieren damit die brüche weg sind... aber ich lass es mal...

Einfach multiplizieren geht nicht. So ist es richtig, wenn du ausultiplizieren willst. Üblicherweise lässt man das in der Art blablabla ... *(x-1) + blubbs * (y-pi/2) stehen. Das alles wird nur so unübersichtlich, weil der Entwicklungspunkt nicht 0 ist.

Zitat:

Original von moonsymmetry
die Hessematrix von (1, pi/2) ist bei mir:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\pi^4}{4} - 2\pi & \pi \\ \pi & -\pi& \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein, das stimmt nicht, Oben links und unten rechts stimmt es nicht. Dort stehen die beiden Einträge $\begin{eqnarray*} f_{xx}\left(1, \frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{yy}\left(1, \frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ , schau noch mal hin.

29.09.2011, 16:50

moonsymmetry

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hoppala.

naja ok.
das produkt von gradienten und (x-1, y- pi/2) ergeibt wenn ichs nicht ausmultipliziere eben $\begin{eqnarray*} (\frac{\pi^2}{4} -2 \pi)(x-1) + (\pi-1)(y-\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$

dann lass ich das halt so stehn smile

Bei der Hessematrix hab ich mich verschaut, :P mein rechenblatt ist glaub ich schon einfall für den mistkübel ;P naja ok die korrigierte hessematrix hat die form:
$\begin{eqnarray*} H_f(1,\frac{\pi}{2}) = \begin{pmatrix} 0 & \pi \\ \pi & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

als nächstes multipliziere ich diese mit dem letzten faktor in der formel und erhalte den Vektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (y- \frac{\pi}{2}\pi) \\ (x-1)\pi + (y- \frac{\pi}{2}) 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das wird jetzt nochmal mit (x-1,y-pi/2) multipliziert und ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} (y-\frac{\pi}{2}) \cdot \pi \cdot (x-1) + (x-1) \cdot \pi \cdot (y-\frac{\pi}{2}) + 2 \cdot (y - \frac{\pi}{2})^2 \end{eqnarray*}$

das ganze noch mal 1/2 und der dritte SUmmand im Taylorpolynom ist fertig.
Kann das vielleicht stimmen, weil auch das ist eine ziemlich lange wurst!

29.09.2011, 19:55

Cel

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Ich sehe keinen Fehler (außer der fehlenden Klammer im ersten Eintrag des Vektors), und wenn du möchtest, kannst du die lange Wurst natürlich auseinanderrechnen. Aber da ist die Fehlerrate sicherlich sehr hoch!

29.09.2011, 20:05

moonsymmetry

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Danke für deine Hilfe smile

noch was:
Beim blättern in meinen Matheunterlagen ist mir auch folgendes untergekommen:

Taylor mit zwei Unbekannten:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) \approx f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) + \frac{1}{2} \cdot \left[ f_{xx}(x-x_0)^2 + 2 \cdot f_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0) + f_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2 \right]+... \end{eqnarray*}$

Ist das nicht das gleiche? nur irgendwie anders gschrieben? verwirrt

29.09.2011, 20:08

Cel

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Das ist genau das gleiche, genau. smile

Wenn du dir meine Formel noch mal allegemein aufschreibst, dann kannst du das durch Ausmultiplizieren auch zeigen. Freude

29.09.2011, 20:10

moonsymmetry

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coole sache smile

herzlichen dank

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