spezielles Integral, Problem

26.09.2011, 22:32

mathlover123

spezielles Integral, Problem

Hallo! Ich habe ein Integral aufzulösen/auszurechnen (was sagt man denn da?) und weiß nicht recht weiter, da ich das in der Form noch nie hatte.

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{x^2+6x+13} \, dx \end{eqnarray*}$

Zunächst hätte ich Nullstellen des Nenners gesucht, um eventuell mit partieller Integration was machen zu können oder Ähnliches. Es gibt aber nur komplexe Nullstellen des Nenners.

Dann habe ich es mit Substitution probiert, nur fällt ja das x dann nicht weg.

Auch mit Teilbruchzerlegung bin ich nicht recht weitergekommen und schön langsam gehen mir die Ideen aus. Denn auch ln(x^2+6x+13) / inner Ableitung kommt eben aufgrund der quadratischen Nennerfunktion nicht in Frage.

Kann mir jemand weiterhelfen?

26.09.2011, 22:35

Iorek

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Probiers im Nenner mal mit quadratischer Ergänzung. Danach kann man etwas substituieren und die Stammfunktion bestimmen. smile

26.09.2011, 22:44

mathlover123

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Hm, versteh ich noch nicht ganz. Ich versuchs also so:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{(x+3)^2+4} \, dx \end{eqnarray*}$

und substituiere dann x+3 = t. daraus folgt dx = dt und

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{t^2+4} \, dx \end{eqnarray*}$

aber auch hier komme ich noch nicht wirklich weiter, aufgrund dem ^2 nach dem t.

26.09.2011, 23:00

Iorek

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Kannst du $\begin{eqnarray*} \int \frac 1{x^2+1}\dx \end{eqnarray*}$ bestimmen?

26.09.2011, 23:25

dubliner

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RE: spezielles Integral, Problem
Also ich hätte das so gemacht;D

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (x^{2}+6x+13)^{-1} \, dx --> [ ln (x^{2}+6x+13) ] a;b \end{eqnarray*}$

...dann würde ich ggf. die Grenzen a und b einsetzen. Na ja, vllt. kann man's ja noch weiter auflösen.

also so:
$\begin{eqnarray*} --> [ 2 ln (x+6x+13) ] a;b \end{eqnarray*}$

EDIT ignorier das BR Big Laugh

26.09.2011, 23:39

Iorek

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Das ist aber komplett falsch, $\begin{eqnarray*} \ln(x^2+6x+13) \end{eqnarray*}$ ergibt abgeleitet eben nicht $\begin{eqnarray*} \frac 1{x^2+6x+13} \end{eqnarray*}$ .

27.09.2011, 08:50

mathlover123

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Zitat:

Original von Iorek
Kannst du $\begin{eqnarray*} \int \frac 1{x^2+1}\dx \end{eqnarray*}$ bestimmen?

das müsste der arcus tangens von x sein. aber ich weiß trotzdem nicht recht wie ich mit +4 umgehen soll.

27.09.2011, 09:15

Verkasematucker

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Es ist:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(x+3)^2+4}=\frac 14\cdot\frac 1{1+\left(\frac{x+3}2\right)^2}. \end{eqnarray*}$

Damit sollte dann klar sein welche Substitution hier weiterhilft!

27.09.2011, 10:53

mathlover123

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vielen dank, jetzt kenne ich mich aus!! ich substituiere also (x+3)/2 = t und erhalte dann 1/2 dx = dt.

ich habe also dann
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{4}\frac{1}{1+t^2}\frac{1}{2} \, dt \end{eqnarray*}$

und erhalte
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \arctan(\frac{x+3}{2} ) \end{eqnarray*}$

richtig?

27.09.2011, 10:56

mathlover123

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ähm ich hab dann natürlich beim integrieren nicht 1/2 dt sondern 2dt und komme folglich auf

1/2 arctan((x+3)/2

27.09.2011, 11:03

Iorek

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Wenn du die Klammer noch richtig schließt, dann stimmte es, $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac 12\arctan(\frac {x+3}2) \end{eqnarray*}$ .

27.09.2011, 11:06

misaki

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ahja, richtig Augenzwinkern