Ungleichung Beweis

26.09.2011, 22:58

Inf177

Ungleichung Beweis

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich sitze an folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für a,b >= 0 die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} | \sqrt{a} - \sqrt{b} | \leq \sqrt{| a-b | } \end{eqnarray*}$

gilt

Meine Ideen:
Ich hab dann zwei Fälle unterschieden:

Fall 1:

a-b > 0

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} - \sqrt{b} \leq \sqrt{a-b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a - 2\sqrt{ab} + b \leq a-b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2\sqrt{ab} +b \leq -b \end{eqnarray*}$

Fall2:

a-b < 0

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b} - \sqrt{a} \leq \sqrt{b-a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b - 2 \sqrt{ab} + a \leq b-a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2 \sqrt{ab} +a \leq -a \end{eqnarray*}$

So und jetzt weiß ich nicht weiter, auch wenn die Lösung wahrscheinlich schon vor mir steht. Kann mir da jemand helfen? Und stimmt das bisher alles?

Gruß Michi

26.09.2011, 23:05

Pi von Lyrelda

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ich nehme mal den ersten Fall (zweiter analog):

$\begin{eqnarray*} a-b > 0 \end{eqnarray*}$

was folgt für a? und was für $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$

26.09.2011, 23:09

Inf177

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Im 1. Fall folgt a > b für a und für $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ > 0

26.09.2011, 23:11

TommyAngelo

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RE: Ungleichung Beweis

Zitat:

Original von Inf177
Fall 1:

a-b > 0

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} - \sqrt{b} \leq \sqrt{a-b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a - 2\sqrt{ab} + b \leq a-b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2\sqrt{ab} +b \leq -b \end{eqnarray*}$

b auf die andere Seite und weitergucken Augenzwinkern

Zitat:

Original von Inf177
Fall2:

a-b < 0

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b} - \sqrt{a} \leq \sqrt{b-a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b - 2 \sqrt{ab} + a \leq b-a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2 \sqrt{ab} +a \leq -a \end{eqnarray*}$

analog

26.09.2011, 23:20

Inf177

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Ah, da $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} > 0 \end{eqnarray*}$ stimmen beide Ungleichungen und somit ist die Aussage bewiesen, wenn man a,b = 0 noch dazunimmt, aber das ist dann ja simpel.

Stimmt das jetzt so?

Vielen Dank, fürs auf die Sprünge helfen.

Michi

26.09.2011, 23:25

Pi von Lyrelda

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das stimmt falls a und b beide >0 sind Augenzwinkern

ich dachte aber an was anderes! Damit deine finalen Aussagen (unteresten Ungleichungen) gelten musst du noch etwas mehr argumentieren!

$\begin{eqnarray*} a > b \end{eqnarray*}$

was ist dann mit $\begin{eqnarray*} a \cdot b \end{eqnarray*}$ ist das auch größer als etwas?
und was ist dann mit den Wurzeln von den Ausdrücken?

26.09.2011, 23:31

Inf177

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Ist mir beim Aufschreiben auch gerade aufgefallen.

Also ich hab jetzt in der letzten Zeile:

$\begin{eqnarray*} -2 \sqrt{ab}+2b \leq 0 \end{eqnarray*}$ stehen.

Dann muss doch $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} > b \end{eqnarray*}$ sein.

Ich frage mich nur gearde, ob das aus a > b folgt?

Ich bleib bei Fall 1, 2 ist dann ja genau gleich.

26.09.2011, 23:35

Pi von Lyrelda

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genau!

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab}>\sqrt{b^2}=b \end{eqnarray*}$

26.09.2011, 23:35

Inf177

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Ja, natürlich folgt das, da ja b<a und $\begin{eqnarray*} \sqrt{bb} = b \end{eqnarray*}$ .

Das war dann aber der ganze Beweis, oder?

Edit: Jetzt ist es mir auch gerade gekommen.

26.09.2011, 23:39

Pi von Lyrelda

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Jo musst es eben nur noch schön sauber aufschreiben, so dass das ganze klar wird Augenzwinkern

26.09.2011, 23:40

Inf177

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Ja, das ist klar, da bin ich gerade dran, aber das ist ja kein Problem mehr.

Vielen Dank.

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