Zyklische Gruppen erzeugende Element bestimmen |
27.09.2011, 01:10 | flauzz777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zyklische Gruppen erzeugende Element bestimmen Hallo Zusammen, Wie berechnet man die erzeugende Elemente einer zyklischen Gruppe? Bsp. \mathbb Z^{*}_{5} ist das erzeugende Element 2 und die Menge {1,2,4,3} Wenn 2 das erzeugende Element ist dann gilt doch: 2^{0} = 1 2^{1} = 2 2^{2} = 4 2^{3} = 9 (9 ist aber nicht in der Menge drin, dafür die 3, warum?) Meine Ideen: Eigentlich mit Hilfe von a^{i} | i \in \mathbb N berechnet man das zu erzeugende Element. Komm aber nicht darauf wie Ich dann das zu erzeugende Element bspw. in \mathbb Z^{*}_{7} oder \mathbb Z^{*}_{8} ausrechnen soll ? Danke schon mal im Vorraus :-) |
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27.09.2011, 01:13 | flauzz777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tut mir Leid wegen der Formatierung. Das soll natürlich immer \mathbb Z_{5} , \mathbb Z_{7} , \mathbb Z_{8} Und natürlich mit der Verknüpfung * mod 5, * mod 7 und * mod 9. |
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27.09.2011, 02:04 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Zyklische Gruppen erzeugende Element bestimmen
Weißt du, was Modulo bedeutet? |
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27.09.2011, 08:48 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Zyklische Gruppen erzeugende Element bestimmen hallo flauzz777, ich glaube ich kann dir helfen. Also erstmal was technisches: du musst immer, wenn du den latex-formeleditor benutzt vorher schreiben, sonst erkennt der formelediter das nicht. Und nun zu deiner frage: der restklassenring Z/5*Z z.B besteht nur aus 5 elementen, nämlich {0,1,2,3,4}, denn 5 wäre dann wieder kongruent zu 0, 6 wieder kongruent zu 1, u.s.w, und in deiner rechnung ist 2^3 nicht 9, sondern 2^3 =3 (mod 5), denn 4*2=8 und 8 ist kongruent zu 3 mod 5. Die zahl 2 ist tatsächlich der erzeuger von Z/5Z. Und zu deiner eingangsfrage: berechnen kann man das erzeugende element eigentlich nicht, sondern muss es durch probieren ermitteln. Na, alles verstanden? |
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27.09.2011, 11:39 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Zyklische Gruppen erzeugende Element bestimmen
Sorry, wenn ich mich kurz einklinke, aber bisschen tricksen kann man schon, wenn man sich in die Gruppentheorie einliest. Zum Beispiel gilt nämlich: Sei das erzeugende Element einer zyklischen Gruppe . Es ist mit ein erzeugendes Element . Damit kann man z.B. ganz leicht die erzeugenden Elemente von angeben: Man kann es sich auch anders überlegen. Die Ordnung eines Elementes ist immer ein Teiler der Gruppenordnung. Da nun gerade 4 Elemente besitzt, kommen für die Ordnung eines Elementes nur die Zahlen 1, 2 und 4 in Frage. Und damit kannst du dann relativ schnell nachweisen, dass für erfüllt ist. Ibn Batuta |
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27.09.2011, 23:10 | flauzz777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Zusammen, zu Olie3: Vielen Dank für den LaTex-Tipp. Ich dachte es sind nur 4 Elemente, die Null wird doch dabei nicht aufgeschrieben, oder?
zu Ibn Batuta:
Da versteh Ich leider nur Bahnhof:-( Kann man mir das vielleicht auf Mathe für Doofe erklären? :-) Vielen Vielen Dank! |
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27.09.2011, 23:38 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, wir haben doch: Nun gibt es diesen Satz, dass die Ordnung eines Elementes immer ein Teiler der Gruppenordnung ist. Was ist hier die Gruppenordnung von ? Diese Gruppe hat die Ordnung 4, da sie vier Elemente beinhaltet. Die Ordnung eines Elements muss also entweder 1, 2 oder 4 sein, denn das sind die Teiler von der Gruppenordnung 4. Also teste doch mal: Und sind auch schon fertig. Diese zyklische Gruppe wird also von erzeugt: Du kannst ja zur Übung dir Gedanken machen, ob zyklisch ist oder nicht. Ibn Batuta Edit: Hatte noch einen Fehler und einige Rechtschreibfehler drin. |
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28.09.2011, 02:26 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Rechne doch mal aus: oder? Du hast zu sehr an die 9 gedacht, vermute ich |
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30.09.2011, 00:42 | flauzz777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja klasse vielen Dank! Nein, Z/8Z is nicht zyklisch denn die Gruppenordnung wäre 7 (Primzahl) -> Teilersuche negativ :-( (ausser 1) |
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