Zyklische Gruppen erzeugende Element bestimmen

27.09.2011, 01:10

flauzz777

Zyklische Gruppen erzeugende Element bestimmen

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

Wie berechnet man die erzeugende Elemente einer zyklischen Gruppe?

Bsp. \mathbb Z^{*}_{5} ist das erzeugende Element 2 und die Menge {1,2,4,3}

Wenn 2 das erzeugende Element ist dann gilt doch:
2^{0} = 1
2^{1} = 2
2^{2} = 4
2^{3} = 9 (9 ist aber nicht in der Menge drin, dafür die 3, warum?)

Meine Ideen:
Eigentlich mit Hilfe von a^{i} | i \in \mathbb N berechnet man das zu erzeugende Element. Komm aber nicht darauf wie Ich dann das zu erzeugende Element bspw. in \mathbb Z^{*}_{7} oder \mathbb Z^{*}_{8} ausrechnen soll ?

Danke schon mal im Vorraus :-)

27.09.2011, 01:13

flauzz777

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Tut mir Leid wegen der Formatierung.

Das soll natürlich immer \mathbb Z_{5} , \mathbb Z_{7} , \mathbb Z_{8}

Und natürlich mit der Verknüpfung * mod 5, * mod 7 und * mod 9.

27.09.2011, 02:04

TommyAngelo

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RE: Zyklische Gruppen erzeugende Element bestimmen

Zitat:

Original von flauzz777
Meine Frage:
Hallo Zusammen,

Wie berechnet man die erzeugende Elemente einer zyklischen Gruppe?

Bsp. \mathbb Z^{*}_{5} ist das erzeugende Element 2 und die Menge {1,2,4,3}

Wenn 2 das erzeugende Element ist dann gilt doch:
2^{0} = 1
2^{1} = 2
2^{2} = 4
2^{3} = 9 (9 ist aber nicht in der Menge drin, dafür die 3, warum?)

Rechenfehler
Weißt du, was Modulo bedeutet?

27.09.2011, 08:48

ollie3

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RE: Zyklische Gruppen erzeugende Element bestimmen
hallo flauzz777,
ich glaube ich kann dir helfen. Also erstmal was technisches: du musst immer, wenn du
den latex-formeleditor benutzt vorher $\begin{eqnarray*} und hinterher \end{eqnarray*}$ schreiben, sonst
erkennt der formelediter das nicht.
Und nun zu deiner frage: der restklassenring Z/5*Z z.B besteht nur aus 5 elementen,
nämlich {0,1,2,3,4}, denn 5 wäre dann wieder kongruent zu 0, 6 wieder kongruent zu 1, u.s.w, und in deiner rechnung ist 2^3 nicht 9, sondern 2^3 =3 (mod 5), denn
4*2=8 und 8 ist kongruent zu 3 mod 5. Die zahl 2 ist tatsächlich der erzeuger von
Z/5Z.
Und zu deiner eingangsfrage: berechnen kann man das erzeugende element eigentlich
nicht, sondern muss es durch probieren ermitteln.
Na, alles verstanden?

27.09.2011, 11:39

Ibn Batuta

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RE: Zyklische Gruppen erzeugende Element bestimmen

Zitat:

Original von ollie3
Und zu deiner eingangsfrage: berechnen kann man das erzeugende element eigentlich
nicht, sondern muss es durch probieren ermitteln.

Sorry, wenn ich mich kurz einklinke, aber bisschen tricksen kann man schon, wenn man sich in die Gruppentheorie einliest.

Zum Beispiel gilt nämlich:

Sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ das erzeugende Element einer zyklischen Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} a^r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ein erzeugendes Element $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \operatorname{ggT}(r,n)=1 \end{eqnarray*}$ .

Damit kann man z.B. ganz leicht die erzeugenden Elemente von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}) \end{eqnarray*}$ angeben: $\begin{eqnarray*} \langle \bar{1} \rangle = \langle \bar{5} \rangle = \langle \bar{7} \rangle = \langle \bar{11} \rangle \end{eqnarray*}$

Man kann es sich auch anders überlegen. Die Ordnung eines Elementes ist immer ein Teiler der Gruppenordnung.
Da nun $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$ gerade 4 Elemente besitzt, kommen für die Ordnung eines Elementes nur die Zahlen 1, 2 und 4 in Frage. Und damit kannst du dann relativ schnell nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} \bar{x}^4=\bar{1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \bar{2} \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Ibn Batuta

27.09.2011, 23:10

flauzz777

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Hallo Zusammen,

zu Olie3:

Vielen Dank für den LaTex-Tipp.
Ich dachte es sind nur 4 Elemente, die Null wird doch dabei nicht aufgeschrieben, oder?

Zitat:

und in deiner rechnung ist 2^3 nicht 9, sondern 2^3 =3 (mod 5), denn
4*2=8 und 8 ist kongruent zu 3 mod 5. Die zahl 2 ist tatsächlich der erzeuger von
Z/5Z.

Könntest du mir vielleicht erklären warum 2^3 = 3 mod 5 ergibt?Leider wurde mir in meinem MatheSkript die Aufgabe so hingelegt ohne dass zuvor erklärt wurde was ein Restklassenring ist oder was kongruent bedeutet? :-(Bzw. das mit dem kongruent hab Ich teilweise verstanden. 6 kongruent zu 1, 7 zu 2 und 8 zu 3.Aber wiso kommst du von 2^3 auf 4*2?

zu Ibn Batuta:

Zitat:

Damit kann man z.B. ganz leicht die erzeugenden Elemente von angeben:

Man kann es sich auch anders überlegen. Die Ordnung eines Elementes ist immer ein Teiler der Gruppenordnung.
Da nun gerade 4 Elemente besitzt, kommen für die Ordnung eines Elementes nur die Zahlen 1, 2 und 4 in Frage. Und damit kannst du dann relativ schnell nachweisen, dass für erfüllt ist.

Da versteh Ich leider nur Bahnhof:-(
Kann man mir das vielleicht auf Mathe für Doofe erklären? :-)

Vielen Vielen Dank!

27.09.2011, 23:38

Ibn Batuta

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Also, wir haben doch: $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^* = \{ \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4} \} \end{eqnarray*}$

Nun gibt es diesen Satz, dass die Ordnung eines Elementes immer ein Teiler der Gruppenordnung ist.

Was ist hier die Gruppenordnung von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$ ? Diese Gruppe hat die Ordnung 4, da sie vier Elemente beinhaltet.

Die Ordnung eines Elements muss also entweder 1, 2 oder 4 sein, denn das sind die Teiler von der Gruppenordnung 4.

Also teste doch mal:

$\begin{eqnarray*} \bar{2}^1 = \bar{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \bar{2}^2 = \bar{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \bar{2}^4 = \bar{1} (!) \end{eqnarray*}$

Und sind auch schon fertig. Diese zyklische Gruppe wird also von $\begin{eqnarray*} g=\bar{2} \end{eqnarray*}$ erzeugt: $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^* = \{ \bar{2}, \bar{4}, \bar{3}, \bar{1} \} = \{ g, g^2, g^3, g^4 \} \end{eqnarray*}$

Du kannst ja zur Übung dir Gedanken machen, ob $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$ zyklisch ist oder nicht.

Ibn Batuta

Edit: Hatte noch einen Fehler und einige Rechtschreibfehler drin.

28.09.2011, 02:26

TommyAngelo

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Zitat:

Original von flauzz777
Aber wiso kommst du von 2^3 auf 4*2?

Rechne doch mal $\begin{eqnarray*} 2^3 \end{eqnarray*}$ aus: $\begin{eqnarray*} 2^3=2\cdot 2 \cdot 2 = 8 \end{eqnarray*}$
oder? Du hast zu sehr an die 9 gedacht, vermute ich smile

30.09.2011, 00:42

flauzz777

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Ja klasse vielen Dank!

Nein, Z/8Z is nicht zyklisch denn die Gruppenordnung wäre 7 (Primzahl) -> Teilersuche negativ :-( (ausser 1)

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