Integral Substituieren

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27.09.2011, 12:18	SharkDeluxe	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Substituieren Meine Frage: Verzweifel gerade hier an der Aufgabe. Bin eh nicht so gut in Substitution bei Integralen aber das hier erschlägt mich direkt :-D Wer kann mir helfen wie ich beginne? $\begin{eqnarray} \int_\frac{\pi }{4} ^\frac{\pi }{3} \! (\frac{cot(x)}{cos^{2} (x)} ) \, dx \end{eqnarray}$ Substituiere ich z= cos²(x) oder ??? Meine Ideen: ...
27.09.2011, 12:24	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe doch zunächst mal cot(x) etwas um und kürze dann entsprechend. Danach denke evtl noch an den trig. Pythagoras.
27.09.2011, 13:32	SharkDeluxe	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke zunächst mal. Ich habe es befolgt und cot = 1/tan ersetzt tan dann wieder mit sin/cos ersetzt dann habe ich nun stehen unter dem integral (1/sin(x)cos(x)) Aber den trig. Pythagoras kann ich doch hier nicht anwenden, das müsste doch dann zum Quadrat sein im Nenner oder nicht? Soweit richtig der Weg?
27.09.2011, 13:40	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit richtig, ja. Du sollst den trig. Pyth. auch nicht im Nenner unterbringen sondern...
27.09.2011, 13:48	SharkDeluxe	Auf diesen Beitrag antworten »
du bist ein Fuchs Björn Wie seht ihr sowas nur immer? (sin² + cos²) -------------- sin(x) * cos (x) Jetzt stört mich das einmal ne Summe und einmal ein Produkt dort steht. Was sollte man nun substituieren? -> gesamter Nenner?
27.09.2011, 13:49	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du jetzt in die Summer zweier Brüche aufteilen.
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27.09.2011, 13:55	SharkDeluxe	Auf diesen Beitrag antworten »
du meinst doch nicht sowas oder? Das führt uns doch nur weiter weg der Lösung (sin²+cos²) * cos ---------------------- sin(x) + (sin²+cos²)*sin --------------------- cos(x)
27.09.2011, 13:58	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein,ich meinte $\begin{eqnarray} \frac{sin^2(x)+cos^2(x)}{sin(x)cos(x)}=\frac{sin^2(x)}{sin(x)cos(x)}+\frac{cos^2(x)}{sin(x)cos(x)} \end{eqnarray}$ Ich bin jetzt erstmal bis 16 Uhr weg. Schaue später wieder rein.
27.09.2011, 14:02	SharkDeluxe	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay super...dann bis später. Brauche dann nämlich nochmal Hilfe: Der Schritt ist soweit klar aber warum mache ich denn. Mir fehlt noch der Durchblick. Und auch wie es weiter geht weiß ich absolut nicht????? Thx
27.09.2011, 14:07	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Rausgehen noch ein Stichwort ---> Kürzen
27.09.2011, 14:59	SharkDeluxe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Stichwort zum Wiederkommen : tan = cotan
27.09.2011, 16:10	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Meintest du wirklich das Gleichheitszeichen dazwischen oder eher was anderes ?
27.09.2011, 16:19	SharkDeluxe	Auf diesen Beitrag antworten »
also auf meinem Blatt steht tan + cotan Flüchtigkeitsfehler Aber ich erkenne noch immer nicht den Lösungsweg bzw. die potenzielle Substitution?
27.09.2011, 16:25	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Pluszeichen gefällt mir besser. Aber lassen wird ruhig mal die gekürzte Form stehen, denn damit lässt es sich leichter weiterarbeiten. Integriere also jetzt einzeln erst $\begin{eqnarray} \frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} \frac{cos(x)}{sin(x)} \end{eqnarray}$ Falls du dich erinnerst, es gibt da auch sone Regel für den Fall falls im Zähler (bis auf einen konstanten Faktor) die Ableitung des Nennerterms steht. Wenn dir das nicht bekannt ist, dann substituiere einfach den Nennerterm.
27.09.2011, 16:30	SharkDeluxe	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ln\| cos(x)\| + ln\| sin(x) \| \end{eqnarray}$ dürfte das wohl sein
27.09.2011, 16:32	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast. Beachte, dass die Ableitung von cos(x) ja -sin(x) ist, da musst du also noch das Vorzeichen anpassen. Sonst würde auch nicht der Zusammenhang F'(x)=f(x) passen.
27.09.2011, 16:41	SharkDeluxe	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ein ln (-cos(x) + ln (sin(x)) Das war es jetzt schon ganz????
27.09.2011, 16:42	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre deine Stammfunktion. Jetzt noch die Integralgrenzen beachten. Edit: Das Minsuzeichen kommt nicht in die Logarithmusklammer.
27.09.2011, 16:50	SharkDeluxe	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn 0,5493 rauskommt bin ich glücklich am beten
27.09.2011, 16:56	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, müsste passen.
27.09.2011, 17:07	SharkDeluxe	Auf diesen Beitrag antworten »
Meister der Integrale Habe tausend Dank!!! Ich frage mich gerade nur wie ich das in der Klausur den Aufgaben ansehen will. Was man zusammenfassen/umschreiben kann und was man am Besten anwendet, welches Verfahren!!!
27.09.2011, 17:15	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Was man dazu nur sagen kann ist: Je öfters du integrierst, also je mehr Integraltypen dir begegnen, umso mehr kommt Routine bzw auch das Gefühl für den richtigen Weg. Man muss eben immer das Ziel vor Augen haben, ein Integral durch partielle Integration oder durch Substitution oder durch andere Umformungen zu vereinfachen. Da der cot(x) eher ungewohnt ist und darin ja eh sin(x) und cos(x) per Definition steckt, und man damit auch in der Regel leichter arbeiten kann, wäre das eben ein naheliegender erster Schritt. Dass man die 1 dann durch sin²(x)+cos²(x) ersetzen kann, ist bei solchen Funktionstypen öfters mal hilfreich und insofern auch eine Sache der Routine bzw Übung. Man kann sich eben überlegen, dass sonst weder partielle Integration oder Substitution zu irgendwas Brauchbarem (Vereinfachung) geführt hätte.

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