Kontrolle partieller Integration

27.09.2011, 12:30

Whitessssssnake

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Kontrolle partieller Integration

Meine Frage:
Hallo,

wer würde mal schauen ob meine Aufgabe bis hierher korrekt ist?

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! 8x^{2} *\sqrt{x^{3}+1 } \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
z habe ich = x³+1 gesetzt also substituiert.
damit -> dx= dz/(3x²)

dann habe ich dort stehen

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{3} * \int_0^1 \! z^{\frac{1}{2} } \, dz \end{eqnarray*}$

dann:

8/3 * 2/3 * $\begin{eqnarray*} \sqrt{z^{3} } \end{eqnarray*}$

= 16/9 und unter der Wurzel (x³+1)³ +c

27.09.2011, 12:49

Bjoern1982

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Abgesehen davon, dass das nichts mit partieller Integration zu tun hat und du wegen den gegebenen Integralgrenzen (bestimmtes Integral) gar nicht rücksubstituieren musst, stimmt es.

27.09.2011, 13:24

Whitessssssnake

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Hallo Björn,

sorry das war keine Absicht. Sollte auch Kontrolle: Substitution eines Integrals heißen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Warum nicht rücksubstituieren? Weil das Integral Grenzen hat?

Das heißt sobald das gegeben ist, kann ich für z einmal 1 einsetzen und rechnen - 0 einsetzen und "rechnen"???

Sobald das Integral keine Grenzen hat (unbestimmt) dann ist es nötig rezusubstituieren richtig?

Wie sieht es bei Integralen mit unendlich in den Grenzen aus, ist ja auch unbestimmt? verwirrt

verwirrt

27.09.2011, 13:38

Bjoern1982

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Entweder Grenzen auch substituieren, dann braucht man keine Rücksubstitution.
Oder die alten Grenzen erst nach der Rücksubstitution einsetzen.
Da bei unbestimmten Integralen ja eine Stammfunktion in Abhängigkeit von x gesucht ist, muss man noch rücksubstituieren.
Unendlich als Grenzen zu schreiben ist eh schwammig und unangebracht denn eigentlich setzt man zunächst mal irgendeine Variable ein und lässt diese dann ganz am Schluss gegen unendlich streben (Grenzwertbetrachtung).

27.09.2011, 13:44

Whitessssssnake

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Oder die alten Grenzen erst nach der Rücksubstitution einsetzen.

Das habe ich doch oben gemacht oder sehe ich das falsch?

Unendlich als Grenzen zu schreiben ist eh schwammig und unangebracht denn....

Aber wenn die Aufgabe so gegeben wird. Was soll ich dann machen?

Habe Dank,
Sven

27.09.2011, 13:48

Bjoern1982

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Das steht ja nach den Pünktchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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27.09.2011, 13:50

Whitessssssnake

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zu Punkt 1.)

Das habe ich doch oben gemacht oder sehe ich das falsch?

zu Punkt 2.)

also ich setzte einfach ne Zahl dafür ein oder wie? Hammer

Hammer

verwirrt

Verstehe das nicht ganz. Hast du zufällig ein Beispiel an der Hand für mich?

Danke
Sven

27.09.2011, 13:55

Bjoern1982

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zu 1) Ja ist schon richtig gewesen, ich schrieb ja auch nur du musst hier nicht rücksubstituieren, du darfst aber sicherlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

zu 2) Vielleicht magst du ja ein Beispiel aus deinem Skript/Übungsblatt posten, dann gehen wir das durch.

Bin jetzt aber erstmal bis 16 Uhr weg. Wink

Wink

27.09.2011, 16:04

Whitessssssnake

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so dann bist du ja gleich wieder da.

Habe mir mal was rausgesucht und mich dran versucht nach dem Schema wie im Skript:

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{3}{(3x-1)^{3} } \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty } \int_1^t \! 3 * (3x-1)^{-3} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty } -\frac{3}{2}*(3t-1)^{-2} - (-\frac{3}{2} * (3*1-1)^{-2} \end{eqnarray*}$

Und sage dann mal ganz fresch. Konvergiert gegen 0 ????????? verwirrt

verwirrt

27.09.2011, 16:05

Whitessssssnake

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*frech nicht fresch....Schreibfehler sorry

27.09.2011, 16:20

Bjoern1982

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Vorsicht deine Stammfunktion F stimmt noch nicht ganz.
Da du eine lineare innere Funktion hast, nämlich 3x-1, musst du noch zusätzlich durch die innere Ableitung dividieren.
Andersfalls würde nicht F'(x)=f(x) gelten.

Die Kernfrage danach wird es sein zu deuten, gegen was der Term mit dem t für t gegen unendlich strebt.
Um sich das besser vorzustellen schreibe die Potenz lieber ohne negativen Exponenten gemäß der Regel $\begin{eqnarray*} x^{-n}=\frac{1}{x^n} \end{eqnarray*}$

27.09.2011, 16:22

Whitessssssnake

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Das hat mir noch nie jemand gezeigt mit der inneren rückwärts also integrieren.Könntest du mir das Bsp. vormachen oder genau sagen was zu dividieren ist?

Sven..

27.09.2011, 16:28

Bjoern1982

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Wie gesagt, die innere Ableitung, also die Ableitung der inneren Funktion 3x-1 ist hier noch zu dividieren.
Beachte, dass dieser "Trick" nur bei linearen inneren Funktionen funktioniert.
Andernfalls kann man "zu Fuß" auch immer den Weg über Integration durch Substitution gehen.

27.09.2011, 16:34

Whitessssssnake

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$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty } -\frac{3}{2}*(3t-1)^{-2} -\frac{3}{2}t - (-\frac{3}{2} * (3*1-1)^{-2} \end{eqnarray*}$ ???

Habe ka:-( Weiß es leider nicht besser....

27.09.2011, 16:36

Bjoern1982

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Was ist denn die Ableitung von i(x)=3x-1 ?

27.09.2011, 16:41

Whitessssssnake

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3 ist die Ableitung.

27.09.2011, 16:47

Bjoern1982

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Richtig, somit lautet eine Stammfunktion für $\begin{eqnarray*} f(x)=3 \cdot (3x-1)^{-3} \end{eqnarray*}$ somit $\begin{eqnarray*} F(x)=-\frac{3}{2} \cdot (3x-1)^{-2} \cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{2} \cdot (3x-1)^{-2}=-\frac{1}{2 \cdot (3x-1)^2} \end{eqnarray*}$

27.09.2011, 16:59

Whitessssssnake

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Manchmal ist die Lösung so einfach... Prost

Prost

D.h immer das was die Ableitung bei linearen inneren funktionen wäre nehme ich als Kehrwert, korrekt so?

habe dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty } -\frac{1}{2*(3t-1)^{2} } +2 \end{eqnarray*}$

Danke,
Sven

27.09.2011, 17:00

Bjoern1982

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Wie kamst du auf die 2 ?

27.09.2011, 17:05

Whitessssssnake

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1/8 wollte ich aber meine Tastatur nicht Big Laugh

Big Laugh

27.09.2011, 17:07

Bjoern1982

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Ok das passt dann jetzt.
Nun mache dir klar was mit dem ersten Summanden passiert, wenn du für t immer größere Zahlen einsetzt, t also gegen unendlich strebt.

1) Was passiert dann mit dem Nenner ?
2) Was bedeutet das für den ganzen Bruch ?

27.09.2011, 17:10

Whitessssssnake

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Der Nenner wird ganz groß, der Buch dagegen fast null, konvergiert gegen 0, ein Minus steht noch davor und hinten +1/8

27.09.2011, 17:19

Bjoern1982

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Das ist genau richtig, insgesamt schließt der Graph der Funktion mit der x-Achse im Intervall von 1 bis unendlich also ein endlich großes Flächenstück von 1/8 FE ein.

Bin jetzt wieder weg.
Falls es noch Fragen gibt, ich schau später nochmal rein. smile

smile

27.09.2011, 21:46

Whitessssssnake

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bestens, DANKE!

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