Ableitung von trigonometrischen Funktionen

27.09.2011, 13:10

totti

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Ableitung von trigonometrischen Funktionen

Hallo zusammen,

ich habe mal ein paar Fragen zu den Ableitung von trigonometrischen Funktionen.

Und zwar das erste: Ich gehe davon aus das $\begin{eqnarray*} tan = sin/cos \end{eqnarray*}$ ist?!?!

Weil Gegenkathete durch Ankathete = Tan ist???
Woher soll ich allerdings wissen, außer aus dem Formelbuch das die Ableitung von sin = cos ist
und von
cos=- sin ist.

ich denke wenn ich der Sache auf den Grund gehen würde, würde das mich sicherlich zum Einheitskreis zurückführen?!?!

Aber gut das ist ja nicht gefragt.

Und zwar habe ich mehere Aufgaben bekommen, bei denen ich mir überhaupt nicht sicher bin, wie ich da vorgehen soll...

als erstes habe ich die:
a) $\begin{eqnarray*} f:x \Rightarrow tan2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f:x \Rightarrow \frac{sinx}{cosx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f:x\Rightarrow sinx*cosx^{-1} \end{eqnarray*}$

jettt würde ich die Produktregel anwenden:

$\begin{eqnarray*} u'*v+u*v' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (cosx*cosx^{-1})+(sinx*(-1cosx^{-2})*(-sinx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{sinx^2}{cosx^2} = tanx^2 \end{eqnarray*}$ das wäre die Ableitung für tan glaube ich, wie gehe ich jetzt noch mit dem Faktor 2 um.

Und wie muss ich die anderen Aufgaben rechnen?:

b) $\begin{eqnarray*} f:x\Rightarrow sin3x+3cosx \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} f:x\Rightarrow sin^2x+cos^2x \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} f:x\Rightarrow tan^2x \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} f:x\Rightarrow sin\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
f) $\begin{eqnarray*} f:x\Rightarrow \sqrt{sinx} \end{eqnarray*}$
g) $\begin{eqnarray*} f:x\Rightarrow cos\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
h) $\begin{eqnarray*} f:x\Rightarrow \frac{x}{sinx} \end{eqnarray*}$

Danke im voraus, wäre nett wenn ich dir mit euch zusammen lösen könnte..

27.09.2011, 13:52

Pi von Lyrelda

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gehen wir es Stück für Stück an:

Die Ableitungen werden die in er Schule meistens einfach so genannt, bzw grafisch motiviert.

$\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \end{eqnarray*}$

Diesen Bruch kannst du ableiten - entweder mit deiner Version oder mit der Quotientenregel

{überleg dir deine letzte latex-Zeile nochmals}

Die Ableitungen benutzen fast alle die Kettenregel, einige auch die Produktregel

27.09.2011, 14:29

totti

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bei meiner letzten Latexzeil, ist folgendes zu sagen.

Denn $\begin{eqnarray*} cosx^1*cosx^{-1} \end{eqnarray*}$ könnte ich auch als Bruch schreiben.

das ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{cosx^1}{cosx^1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ???

Oder???

Ja als Zwischenschritt kann ich dann ja noch hinzufügen, das:

$\begin{eqnarray*} 2sinx*cosx^{-2} \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} 2sinx \end{eqnarray*}$ doch auch $\begin{eqnarray*} sinx^2 \end{eqnarray*}$ sind???

Wenn ich das jetzt wieder als Bruch darstelle...???

27.09.2011, 14:38

Pi von Lyrelda

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Zuerst zur Ableitung von tan(x)

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}=1 + tan^2(x) \end{eqnarray*}$

oder auch

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}=\frac{cos^2(x)+sin^2(x)}{cos^2(x)}=\frac{1}{cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

Sind die beiden Dinge klar?

formuliere das bitte nochmal was du nun zu den sin(2x) usw meinst - das was ich da lese ist falsch, aber vllt liegt es daran, dass mit Latex durcheinander gekommen bist^^

27.09.2011, 14:55

totti

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nein das 2. ist mir nicht ganz klar!

der erste Term schon..danach nichtmehr...

also wenn i9ch weiter nach der Produktregel vorgehe, die ich unter aufgeschrieben habe, rechne ich doch jetzt im 2. Summanden:

$\begin{eqnarray*} (sinx*(-1cosx^{-2}*(-sinx)) \end{eqnarray*}$

So die beiden Vorzeichen heben sich ja auf von sin also habe ich $\begin{eqnarray*} 2sinx * cosx^{-2} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} 2sin(x) \end{eqnarray*}$ sind doch das gleiche wie: $\begin{eqnarray*} sinx^2 \end{eqnarray*}$

oder nicht

27.09.2011, 15:05

Pi von Lyrelda

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$\begin{eqnarray*} sin^2(x)+cos^2(x) =1 \end{eqnarray*}$ überleg dir das bitte mal anhand des Einheitskreises!

das ist alles unsauber notiert und ich habe befürchtet du meinst $\begin{eqnarray*} sin^2(x) = 2 sin(x) \end{eqnarray*}$ - es gilt ja auch nicht allgmein $\begin{eqnarray*} 2x = x^2 \end{eqnarray*}$

ich leite dir mal $\begin{eqnarray*} cos(2x)^{-1} \end{eqnarray*}$ ab:

$\begin{eqnarray*} (cos(2x)^{-1})'=(-2sin(2x))\cdot(-cos(2x))^{-1} \end{eqnarray*}$ innere mal äußere Ableitung

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27.09.2011, 17:34

totti

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hmm i-wie bin ich jetzt aus dem Zusammenhang gerissen wurden.
pass auf ich starte nochmal ein versuch zur Aufgabe a!!!

$\begin{eqnarray*} f:x \Rightarrow tan(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{sin(2x)}{cos(2x)} = sin(2x) * cos(2x)^{-1} \end{eqnarray*}$

soweit schonmal richtig???

Jetzt die Ableitung nach der Produktregel...

u'*v + u*v'

$\begin{eqnarray*} u=sin(2x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=cos(2x)^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=cos(2x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=(-cos(2x)^{-2})*(-2sin(2x)) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit ok?

Eine Frage zu der Ableitung von $\begin{eqnarray*} v=cos(2x)^{-1} \end{eqnarray*}$

Muss das echt -2sin(2x) heißen...wieso denn dann -2 sin???

27.09.2011, 17:40

Pi von Lyrelda

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u und v stimmen Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber um sin(2x) ab zu leiten musst du die Kettenregel benutzen! Es kommt also noch die innere Ableitung als Vorfaktor dazu!

$\begin{eqnarray*} u'(x) = 2sin(x) \end{eqnarray*}$

Klar wieso?

Nun zu v'

du musst die innere Ableitung bilden, also cos(2x) ableiten. Cosinus abgeleitet gibt - Sinus und das ganze dazu mit der Kettenregel wegen 2x somit kommst auf das Ergebnis von mir

Schau dir das Thema Kettenregel nochmal etwas an

(b und c werden dann einfacher^^)

27.09.2011, 18:26

totti

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also:

den $\begin{eqnarray*} sin(2x) \end{eqnarray*}$ habe ich abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} 2cos(2x) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} cos(2x)^{-1} \end{eqnarray*}$ so:

$\begin{eqnarray*} -2sin(2x)*(-cos(2x))^{-2} \end{eqnarray*}$

27.09.2011, 18:34

Pi von Lyrelda

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$\begin{eqnarray*} (sin(2x))'=2cos(2x) \end{eqnarray*}$ wunderbar!

$\begin{eqnarray*} (cos(2x)^{-1})'= 2sin(2x)\cdot cos(2x)^{-2} \end{eqnarray*}$ (zusammengefasste Minuse)

Sodelchen nun nur noch alles zusammenwürfeln - Das Ergebnis erinnert an die Ableitung von tan(x), zu mindestens ein bisschen

27.09.2011, 18:46

totti

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$\begin{eqnarray*} f':x ---> 3cos(3x) + (-3sin(x)) \end{eqnarray*}$

27.09.2011, 18:49

Pi von Lyrelda

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um etwas Ordnung zu schaffen:

Teil b.)

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin (3x) + 3 \cos (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3\cdot \cos (3x) - 3\cdot \sin(x) \end{eqnarray*}$

also vollkommen richtig

27.09.2011, 19:05

totti

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zur c)

$\begin{eqnarray*} f':x---> 2cos(x) + (-2sin(x)) \end{eqnarray*}$

???

27.09.2011, 19:14

Pi von Lyrelda

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leider nein unglücklich

unglücklich

der lange weg:

$\begin{eqnarray*} (cos^2(x))' = \underbrace {sin(x)}\cdot \underbrace {2\cdot cos(x)} \end{eqnarray*}$

erster Teil innere, zweiter Teil äußere

$\begin{eqnarray*} (sin^2(x))' = \underbrace {-cos(x)}\cdot \underbrace {2\cdot sin(x)} \end{eqnarray*}$

Zusammen NULL!

Einfacher wäre es gewesen, wenn das vom Anfang noch gewusst hättest:

$\begin{eqnarray*} sin^2(x)+cos^2(x) =1 \end{eqnarray*}$ und 1 Abgeleitet ergibt NULL Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.09.2011, 19:24

totti

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hmm rechne ich nochmal nach....zur d)

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2sin(x) + (-2sin(x))*(-cos^2(x))^{-2} \end{eqnarray*}$

ist die richtig

27.09.2011, 19:26

totti

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$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2sin(x) + (-2sin(x))*(-cos^2(x))^{-2} \end{eqnarray*}$

27.09.2011, 19:31

Pi von Lyrelda

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d.) Schritt für Schritt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \tan^2(x) \end{eqnarray*}$

die äußere Funktion u ist das Quadrat, die innere v der tan

$\begin{eqnarray*} u'(x) = 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(x)= 1 + \tan^2 \end{eqnarray*}$

zusammengebastelt: (innere mal äußere)

$\begin{eqnarray*} (1+\tan^2(x))\cdot 2\tan^2(x) \end{eqnarray*}$

kann man gern auch ausmultiplizieren

27.09.2011, 19:44

totti

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$\begin{eqnarray*} f'(x) = cos(x) * 2sin(x) + (-sin(x))*2cos(x) \end{eqnarray*}$

nochmal die c

27.09.2011, 19:45

Pi von Lyrelda

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Zitat:

Original von totti
$\begin{eqnarray*} f'(x) = cos(x) * 2sin(x) + (-sin(x))*2cos(x) \end{eqnarray*}$
nochmal die c

ja wunderbar! fass es zusammen und es gibt Null

27.09.2011, 19:46

totti

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wie soll ich das zusammenfassen

warum sieht es bei mir anderes als bei dir auf der Seite vorher...

27.09.2011, 19:49

Pi von Lyrelda

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$\begin{eqnarray*} a\cdot 2\cdot b +(-b)\cdot 2 a = ...? \end{eqnarray*}$

genauso kannst mit Sinus/Cosinus rechnen

(meine Beitrag damals hat die 2 Summanden noch einzel gehabt - zusammen fügen müsste man sie noch,... der untere Teil ist ein anderer Weg! Es gibt meist mehrer Wege)

28.09.2011, 09:59

totti

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so jetzt die e)

$\begin{eqnarray*} f':x \Rightarrow cos(x) * \frac{1}{2*\sqrt{sinx} } \end{eqnarray*}$

28.09.2011, 10:04

totti

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hmm...

das gleiche Ergebnis habe ich auch für die f) raus....
kann das sein?

28.09.2011, 10:09

Pi von Lyrelda

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Nu da hast du sehr viele richtige Ansätze, aber im Details Fehler gemacht!

die innere Funktion ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ deren Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ ist da musst du dann x nicht wieder durch sin(x) ersetzen!

die äußere Funktion ist sin(x) abgeleitet also cos(x) - hier (also immer bei der äußeren!) musst du das x wieder duch $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ersetzen

somit ist die Lösung:

$\begin{eqnarray*} cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

28.09.2011, 10:09

totti

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bei der f) bin ich mir zumindest sicherer als bei der e)

denn bei der f) konnte ich nach dem Kettenregelprinzip rechnen, wie es auch auf lyrelda gezeigt wurde...

vorausgesetzt ich habe keinen Fehler gemacht smile

smile

28.09.2011, 10:10

Pi von Lyrelda

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Zitat:

Original von totti
so jetzt die e)

$\begin{eqnarray*} f':x \Rightarrow cos(x) * \frac{1}{2*\sqrt{sinx} } \end{eqnarray*}$

ja bei der f stimmt das :-D

28.09.2011, 10:13

totti

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man das rausfinden was innere und äußere ist, habe ich echt noch nicht drauf, ich raff das nicht^^

ja die e habe ich nochmal gerechnet, passt jetzt mit deinem Ergebnis, ich habe mir das schon gedacht..

28.09.2011, 10:16

Pi von Lyrelda

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OK ich versuch es mal so zu erklären,...

du willst etwas für ein bestimmtes x ausrechnen, zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} (x+7)^2 \end{eqnarray*}$

sagen wir nun zB x=2

du rechnest also zuerst $\begin{eqnarray*} 2+7 \end{eqnarray*}$ (INNERE)

dann $\begin{eqnarray*} 9^2 \end{eqnarray*}$ ÄUSSERE

das was du zuerst berechnen müsstest ist die innere

28.09.2011, 10:21

totti

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also es dreht sich alles nur um das x....

und wenn ich wie bei der Aufgabe h) den Fall habe, woran erkenne ich da was innere ist und was äußere?
Ich möchte dann anhand von Hilfen erstmal selbst erkennen...

Danke

28.09.2011, 10:27

Pi von Lyrelda

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schnapp dir dafür bitte zuerst die g.)!!!!

h.) find ich für Abitur schon etwas heftig!

aber ein paar Aufgaben wo du mal innere und äußere erkennen sollst

1.) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} e^{(3x^2-4)} \end{eqnarray*}$

28.09.2011, 11:19

totti

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g)

mit quotientenregel:

$\begin{eqnarray*} -sinx - cos * x^{-2} \end{eqnarray*}$

28.09.2011, 11:29

Pi von Lyrelda

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uff was du da gerechnet hast erschließt sich mir auf den ersten Blick leider nicht!

$\begin{eqnarray*} f(x) = \cos (\frac{1}{x}) = \cos (x^{-1}) \end{eqnarray*}$

innere: $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$
äußere: $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$

innen abgeleitet: $\begin{eqnarray*} -x^{-2} \end{eqnarray*}$
äußeres abgeleitet: $\begin{eqnarray*} -\sin(x) \end{eqnarray*}$

zusammen dabei das x bei der äußeren wieder durch $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ erstzen

$\begin{eqnarray*} f'(x)= -x^{-2} \cdot (-\sin(x^{-2})) \end{eqnarray*}$

nun heben sich die beiden Minuse noch auf,...

bei der g.) geht die Quotientenregel nicht!!! der Bruch ist im Argument des Cosinus, die Regel geht nur, wenn du einen richtigen Bruch hast im Sinne von etwa $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ - Umgangssprachlich, muss der Bruchstrich so lang sein wie die ganze Funktion Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.09.2011, 12:21

totti

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bist du dir sicher das es so ist?

denn wenn ich ja nach der kettenregel vorgehe, muss ich doch heißen:

$\begin{eqnarray*} v'(x) = -x^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'(v) = -sin(v) \end{eqnarray*}$

was doch dann bedeutet würde,

$\begin{eqnarray*} -x^{-2} * sin(x^{-1}) \end{eqnarray*}$

28.09.2011, 12:24

Pi von Lyrelda

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du hast doch in beidne Fällen auch ein Minus? wieso fusionieren bei dir 2 Minuse zu einem Minus und das bei einem Produkt?

(Und ja es sollte im Sinus natürlich der alte Teil stehen also x^-1

28.09.2011, 13:56

totti

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sry falsch geschrieben. natürlich - sin

28.09.2011, 14:05

totti

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$\begin{eqnarray*} \frac{u'*v - u*v'}{(v)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1*sin(x) - x*cos(x)}{(sin(x))^2} \end{eqnarray*}$

das ist die h...

da kann ich bestimmt noch was zusammen rechnen...?!

28.09.2011, 14:08

Pi von Lyrelda

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achje ich hab die ganze Zeit gedacht die h sei folgendes: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^x}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$

habe meinen Irrtum eben bemerkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kannst ruhig so stehen lassen, ist korrekt Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.09.2011, 14:09

totti

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dann bin ich ja beruhigt^^

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