Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus

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27.09.2011, 15:27	robw	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus Meine Frage: Es seien $\begin{eqnarray} V = R^{n x n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi \in End(V) \end{eqnarray}$ definiert durch: $\begin{eqnarray} \phi(A)= A^{t} + \sqrt{2}A \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} A \in V \end{eqnarray}$ . (i) Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ diagonalisierbar ist und bestimmen Sie die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . (ii) Geben Sie für n = 2 explizit eine Basis von V an, die aus Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ besteht. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \phi(A) = A^{t} + \sqrt{2}A = \lambda A \Rightarrow \lambda 1 = (1+\sqrt{2}A), \lambda2 =(-1+\sqrt{2}A) \end{eqnarray}$ mit den Eigenvektoren (zu 1): symmetrische Matrizen und Diagonalmatrizen, und zu 2: schiefsymmetrische Matrizen. Dass Phi nun diagonalisierbar ist, habe ich mit Aufegabenteil (ii) bewiesen: Es gibt zum Eigenwert 1 = $\begin{eqnarray} \frac{n^{2}-n}{2} \end{eqnarray}$ linear unabhängige symmetrische Matrizen mit dem Eintrag 1 in A(i,j) und A(j,i), ansonsten 0; und n Diagonalmatrizen mit 1 in A(i,i) ansonsten 0; zum zweiten Eigenwert gibt es ebenfalls $\begin{eqnarray} \frac{n^{2}-n}{2} \end{eqnarray}$ linear unabhängige schiefsymmetrische Matrizen mit 1 in A(i,j) und -1 in A(j,i) und ansonten 0. Alles in Allem also $\begin{eqnarray} n^{2} \end{eqnarray}$ linear unabhängige Eigenvektoren. Daraus folge ich, dass die Matrix diagonalisierbar ist. Ich habe die Aufgabe jetzt aber von "hinten nach vorne" gelöst. Ich bin mir daher sicher, dass es noch eine andere Möglichkeit gibt, von der ich glaube, dass sie eher zu der "Standardherangehensweise" gehört wie mein Ansatz. Wäre super, wenn mir jemand den verraten könnte ? brauche bei diesen Aufgaben nämlich leider im relativ lange. Vielen Dank!
27.09.2011, 16:07	robw	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus meine frage ziehlt auch darauf ab, man das charakteristische polynom bilden kann, und falls ja, wie…
27.09.2011, 16:10	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man hätte auch so vorgehen können: Sei $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ der durch Transponieren gegebene Endomorphismus. Wegen $\begin{eqnarray} (A^t)^t = A \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f(\psi) = 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f=x^2-1=(x-1)(x+1) \end{eqnarray}$ . Das Minimalpolynom teilt also f, folglich ist $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ diagonalisierbar. Da offensichtlich nicht $\begin{eqnarray} \psi = \pm \operatorname{id} \end{eqnarray}$ gilt, ist f sogar das Minimalpolynom, womit die Eigenwerte auch gefunden sind. Wegen $\begin{eqnarray} \phi = \psi + \sqrt{2} \operatorname{id} \end{eqnarray}$ ist man damit auch für $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ durch.
27.09.2011, 16:18	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst es ja aufsplitten. Betrachte hierzu $\begin{eqnarray} \rho\in \operatorname{End}(\mathbb{R}^{n\times n})\colon \rho(A)=A^t \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} (\rho\circ\rho)(A)= A \end{eqnarray}$ . Das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ teilt somit $\begin{eqnarray} X^2-1=(X-1)\cdot(X+1) \end{eqnarray}$ . Da die Abbildungsmatrix für jede Basis gleich aussieht, schau dir mal die Abbildung $\begin{eqnarray} \psi\in \operatorname{End}(\mathbb{R}^{n\times n})\colon \psi(A)=\sqrt 2A \end{eqnarray}$ an. Was lässt sich denn über die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \phi=\rho+\psi \end{eqnarray}$ aussagen? Oder über die Eigenwerte? Ibn Batuta Edit: Viel zu spät. Sorry.
27.09.2011, 16:25	robw	Auf diesen Beitrag antworten »
Das minimalpolynom kam in unserer Vorlesung nicht vor, aber ich stoße relativ häufig drüber. Werde mich also mal auf die Suche machen und schaue mir eure Ansätze dann nochmal an! Vielen Dank! PS: das charakteristische Polynom kann man nicht bestimmen, oder? Aber wahrscheinlich wird das ja auch was mit dem Minimalpolynom zu tuen haben. Ich schaue einfach mal
27.09.2011, 16:33	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich kann man das char. Polynom bestimmen. Wenn $\begin{eqnarray} (x-1)(x+1) \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom ist, so ist das char. Polynom gerade $\begin{eqnarray} (x-1)^k(x+1)^l \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k+l=n^2 \end{eqnarray}$ geeignet. Die genauen Werte für k und l hast du ja sogar schon (fast) bestimmt. Das sind gerade die Dimensionen der Räume der (schief)symmetrischen Matrizen. Aber für diese Aufgabe war das ja gar nicht nötig. Deswegen sieht der Lösungsweg von Batuta und mir auch recht ellegant aus, da er nur mit abstrakten Überlegungen daherkommt und man sich nicht über irgendwelche konkrete symmetrische Matrizen den Kopf zerbrechen muss
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28.09.2011, 15:44	robw	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe mir das Minimalpolynom mal angeschaut und so weit auch verstanden. Bin jetzt nochmal auf eine ähnliche Aufgabe gestoßen: Es sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ der Vektorraum $\begin{eqnarray} R^{n} \end{eqnarray}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray} \phi : V \rightarrow V \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} \phi((v_{1} , v_{2} , . . . , v_{n} )^{t} ) =<br /> (v_{n} , v_{n-1}, . . . , v_{1})^{t} \end{eqnarray}$ . (a) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \phi. \end{eqnarray}$ (b) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . zu (a): Hier gilt ebenfalls $\begin{eqnarray} \phi^{2}(v)=v \rightarrow m_{\phi}=(X-1)(X+1) \end{eqnarray}$ . zu (b): Wie ihr sagtet, gilt: $\begin{eqnarray} (X-1)^{k}(X+1)^{l}, k+l=n \end{eqnarray}$ . Ich habe jedoch keinen blassen schimmer, wie ich jetzt k+l berechnen kann. Intuitiv würde ich sagen k=l, aber kann ja schon bei n ungerade nicht gehen…
28.09.2011, 15:46	robw	Auf diesen Beitrag antworten »
verklickt…
28.09.2011, 15:55	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) hast du fast richtig gelöst. Es fehlt noch eine Fallunterscheidung $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n > 1 \end{eqnarray}$ - Im letzten Fall ist in der Tat $\begin{eqnarray} m_\phi = x^2-1 \end{eqnarray}$ . Wie siehts aber mit $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ aus? Bei der (b) liegst gar nicht mal so falsch. Probiere es doch mal für die Fälle n=2,3,4,5 aus und schau ob du eine Vermutung kriegst. Die könntest du dann per Induktion beweisen (Über die Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasis) Oder du überlegst dir eine geeignete Basis aus Eigenvektoren, aus denen du dann die Vielfachheit der beiden Eigenwerte ablesen kannst.
28.09.2011, 18:56	robw	Auf diesen Beitrag antworten »
bei $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ ist das Minimalpolynom = das charakteristische Polynom = $\begin{eqnarray} (x-1) \end{eqnarray}$ . bei n gerade scheint $\begin{eqnarray} k=l \end{eqnarray}$ zu sein, ansonsten $\begin{eqnarray} (x-1)^{k+1}(x+1)^{l} \end{eqnarray}$ . Die Induktion spar ich mir jetzt, mir brummt eh schon der Kopf. Noch eine kurze Verständnisfrage: $\begin{eqnarray} \phi(v_{i})=\lambdav_{i} \end{eqnarray}$ hat nur eine Lösung für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ bei n=1,3,5,… und zwar 1. dann kann nämlich der "Mittelvektor" auf sich selbst abgebildet werden. bei n=7 beispielsweise : $\begin{eqnarray} \phi(v_{4})=\lambdav_{4} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ . Bei n=2,4,6,… wird jedoch kein vektor auf sich selbst abgebildet, dass heißt, ich kann kein Lambda finden, für die die Gleichung $\begin{eqnarray} \phi(v_{i})=\lambdav_{i} \end{eqnarray*}$ eine Lösung hat. Ich müsste dann doch sagen, dass es keinen Eigenwert gibt?! Und ich verstehe auch nicht, wieso es einen Eigenwert -1 geben soll … Danke für die Hilfe!

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