Fragen zur Partialbruchzerlegung

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Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zur Partialbruchzerlegung
Meine Frage:
Tag zusammen,
habe hier 2 Aufgaben mit versch. Problemen. Beginnen wir aber erst mal bei einer um das Chaos niedrig zu halten:-)

Es geht um dies hier:



Die Ausrufezeichen dabei sollen aber nicht sein :-P

Meine Ideen:
Habe das im Nenner stehen:
(x+1) * (x-1)

dann:

ausmultipliziert: 6x²+1 = Ax-A+Bx+B
=
6x²+1=(A+B)*x - A+B

Nun zum Problem: rechts steht nur x, links aber zum quadrat.

Wo liegt der Fehler. Hoffe auf schnelle verständliche Hilfe von euch:-) Vielen lieben Dank,

Saskia
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst eine Partialbruchzerlegung nur machen, wenn der Zählergrad kleiner ist,
als der Nennergrad. Mach also zuvor mal ne Polynomdivision. Dein restlicher Ansatz
verfolge dann erneut. Dieser war richtig Augenzwinkern
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

Ui ihr seid aber schnell.

Wo soll ich denn hier eine PD machen?
Das ist doch wenn alles pq oder stehe ich voll auf dem Schlauch. Hilf mir bitte Freude
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Die Polynomdivision wird einen Rest haben. Du wunderst dich also zurecht.
Doch wie sieht das aus? Probier es selbst mal Augenzwinkern


pq-Formel bringt uns hier gar nicht weiter. Damit könnten wir Nullstellen berechnen,
was wir aber nicht brauchen (Nennernullstellen sind ohnehin bekannt).
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

so vielleicht?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

^^ Da hast du Nenner und Zähler vertauscht.
Versehen, oder Absicht? Die Sache ist klar oder?
 
 
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

aber ja doch mensch....ne war ein Versehen!

Und jetzt weiter? Das bringt mich so noch nicht wirklich auf den richtigen Pfad:-(
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Die 6 brauchst du für die Partialbruchzerlegung nicht weiter zu beachten.
Zerlege nun den obigen Rest partial. Das Ergebnis sieht dann wie aus?
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

wieder so???



7= = Ax-A+Bx+B

aber dann folgt ein Widerspruch?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das aber allerhöchstens daran liegt, dass du zwei Gleichheitszeichen gesetzt hast.
Sonst ist da kein Problem xD

Wie sehen deine beiden Gleichungen denn aus?
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wir A=-3,5 und B=3,5....Heute ist glaube ich nicht mein Tag verwirrt
Aber Mathe erklären und dabei scherzen ist Freude ...Echt super was du/ihr da macht...

Hast du dann noch Nerven für die 2. Aufgabe??
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, solange der Scherz nicht auf meine Kosten geht Teufel Big Laugh


Immerdoch Augenzwinkern
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

gehe mal davon aus das 3,5 und -3,5 gestimmt haben Augenzwinkern


So okay mal schauen: Wahrscheinlich war ich auch hier wieder blind heute:



habe als Nullstellen: x1=0 durch Ausklammern, x2=-1 durch Probieren und wollte dann damit PD mal wieder anwenden (also: /(x+1)und da kam raus: x2+8
und da komme ich schon nicht weiter. Sprich die 3. Nullstelle fehlt oder gibt es eine doppelte?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden letzten Nullstellen sind komplexer Art.
Habt ihr Zahlen aus dem Komlexen schon behandelt?
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

mit i der "Kram" ??? Augenzwinkern
Ja aber brauche dazu nochmal Denkanstöße
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Yep genau der Kram^^
Hier brauchste damit aber nicht rechnen.
Lass es als x²+8 stehen.

Schau mal hier rein, welcher Ansatz dafür geeignet ist: Klick mich

Da hab ich das mal alles aufgeschrieben Augenzwinkern
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

muss gerade erst mal weg aber ich sehe heute noch nach und melde mich dann wieder..

schon mal großes Dankeschön....!
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Geht klar, bis später dann

Wink
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du dann einen Teil hinter dem Gleichheitszeichen so?


c+d/(x²+8)

oder muss das dann zweifach?

Deine Eklärung habe ich gefunden. Bin etwas schlauer aber für eine die nicht so ganz Mathebegabt ist, nicht so einfach nachzuvollziehen. Werde es aber gleich mal ausdrucken für meine Unterlagen. Danke Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so nicht. Der letzte Term muss lauten:



mY+
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »



dann Anfang:
A(x³+x²+8x+8) richtig? Aber bei B weiß ich dann schon nicht mehr den Weg :/
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und dann musst du ja nur mit den entsprechenden Erweiterungsfaktoren multiplizieren. Also den zweiten Bruch mit und den dritten mit .

Alternativ zum Koeffizientenvergleich gibt es noch eine andere (listige) Methode. In die bereits nennerfreie Gleichung kann man nacheinander für x günstige Werte einsetzen, vorzugsweise die Nullstellen. Dadurch bekommt man einfachere Gleichungen in A, B, C, D

mY+
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

also IMMER mit den Nennern der anderen Teile? Oder kann das auch mal anders sein?

habe jetzt stehen:

(A+B+C) x³ + (A+C+D) x² +8Ax + 8A+8Bx +D

korrekt so?
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

vllt. Equester nochmal??? Augenzwinkern Freude
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Fast ..., ich habe hinten Dx
________

Du solltest eigentlich sehen, dass Equester nicht ON ist.
Und bitte NICHT drängen!
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

..habe ich jetzt auch :-D

Sorry wollte nicht drängen. Dachte weil er eben mal on war. Kenne mich auch hier nicht so aus das ich das hätte gesehen. War keine Absicht Gott

I= A+B+C=1
II = A+C+D=8
III = 8A+8B+D=8A

und 4 fehlt mir ... verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du solltest eigentlich sehen, dass Equester nicht ON ist.

Ik ben da Augenzwinkern


Zitat:
Deine Eklärung habe ich gefunden. Bin etwas schlauer aber für eine die nicht
so ganz Mathebegabt ist, nicht so einfach nachzuvollziehen. Werde es aber gleich mal
ausdrucken für meine Unterlagen. Danke Augenzwinkern


Wenn du Anregungen hast, dann darfst du mir die gerne per PN mitteilen. smile
Ansonsten freuts mich, wenn meine reingesteckte Zeit nicht umsonst war und es
sogar ausgedruckt wird Ups


Viel Spaß euch noch und gute Nacht
Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf DIESE Gleichungen? Du sollst doch einen Koeffizientenvergleich nach den Potenzen von x machen!

Übrigens ist dann 8A = 4, ..., usw.

Hinweis:
Die vier Gleichungen ergeben sich durch Vergleich:
x^3, x^2, x, Konstante (x^0)
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich drauf komme?
Potenzen in der Funktion (Nenner) angesehen und danach aufgestellt.
Was ist nun falsch?

thx Equester, dir auch.Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was tust du mit dem Nenner? Mit diesem ist doch schon multipliziert!
Halten wir fest: Danach ist



Ich nehme an, das hast du auch so.
Nun ordne nach den Potenzen von x und vergleiche die Koeffizienten links mit rechts.
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin selten dämlich. Natürlich my

(A+B+C) x³ + (A+C+D) x² + (8A+8B+D) x + 8A =2x+4

8A=4
A+B+C=0
A+C+D=0
8A+8B+D=2
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sic! Freude

Nun löse das noch auf und gut ist's!

mY+
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke so sollte es sein:

A=1/2
B=D=-2/9
C=-5/18

einsetzen für die Variablen und hoffen das man das Integral lösen kann Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Konstanten stimmen!

Die Integrale lassen sich gut berechnen. Jene mit dem einfachen Nenner führen gleich auf den Logarithmus und den Bruch mit dem Nenner trennt man am besten in die Summe zweier Brüche. Deren Integral führt einerseits wieder auf den Logarithmus und anderseits auf eine arctan-Funktion.

mY+
________________

Ich gehe nun OFF. Weitere Fragen gerne morgen.
GN8!
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »



=



Das ist soweit wie ich konnte. Deinen Rat habe ich befolgt. Nur weiß ich den hinteren Schritt nicht. Wie sehe ich da den Log bzw. den arctan. Das sieht für mich gleich aus Augenzwinkern

Danke euch allen,
Saskia
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja die letzten 2 Summanden gar nicht integriert, sondern nur mal die Konstanten dazu geschrieben und ausserdem einen Vorzeichenfehler gemacht, vor dem letzten Summanden gehört ebenfalls ein Minus.

Den ersten Bruch musst du so umformen, dass dann die Beziehung



anzuwenden ist, also



EDIT: Schreibfehler korrigiert.

und der letzte geht nach



da musst du also ausklammern ...

mY+
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

hoffe das du 5/36 meintest bei dem Bruch und dich nur verschrieben hast weil ich sonst nicht drauf komme

bei dem hinteren kann man da nicht so vorgehen:?

1/36 INT 1/(1/8x²+1)

und dann zu 1/36 arctan (1/8)

weil mit Wurzel 8 ausklammern komme ich da leider nicht weiterunglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sorry, natürlich muss das 5/36 lauten, klar.
Zum anderen (eigentlich war insgesamt 8 auszuklammern, nur beim x steht dann die Wurzel):
Du hast es zwar geahnt bzw. richtig gemeint, aber so stimmt's dennoch nicht (weil du keine Klammer gesetzt hast).
Es ist jedenfalls



Jetzt wird das Ganze zu arctan (x/ ..) (bei dir hast du kein x mehr stehen, arctan(1/8) ist falsch). Das ist noch durch die innere Ableitung (konstanter Faktor bei x) zu dividieren.

So klar?

mY+
Saskia17 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch nicht so ganz. Kann mich nach der Pause aber auch nur schlecht wieder rein denken. Sinnvoll für mich wäre es an der Stelle wenn du so lieb wärest und könntest die komplette letzte Zeile der Lösung posten dann schaue ich ob ich nachvollziehen kann.

Machbar?

Lg,
Saskia

HERZLICHEN DANK Freude
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, ausnahmsweise, weil's ein Teilergebnis ist:



mY+
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