Beweis Fundamentalsatz der Algebra

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misaki Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Fundamentalsatz der Algebra
Guten Abend!

Am Montag schreibe ich eine wichtige Prüfung bei der auch ein Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra Stoff ist. Da unser Professor recht launisch ist und gerne mal viele Punkte abzieht, auch wenn nur eine Kleinigkeit fehlt, lerne ich eigentlich immer nur die Beweise, die er in seinem Skriptum angibt und keine anderen/abgewandelten/einfacheren/o.Ä.

Nun hat besagter Professor in seinem Skriptum auch einen Beweis, bzw. eher eine "Skizze" davon, wie er es nennt, zum Fundamentalsatz der Algebra, den ich aber leider überhaupt nicht nachvollziehen kann. Ich kopiere hier den Beweis mal rein und hoffe dann eventuell auf ein paar Erklärungen von euch, falls jemand den Beweis besser versteht. unglücklich

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Wie man sieht habe ich auch ein paar Randnotizen, das sind aber nur kleine Dinge, die ich dazugeschrieben habe. Zum Beispiel dass ich in der ersten Zeile des Beweises mal die Voraussetzungen aufliste, also die komplexen Koeffizienten und das nichtkonstante Polynom, oder dass ich in (1) (grün markiert) die Infimumseigenschaft einer Teilmenge von R benutze.

Richtig verstehen tu ich leider trotzdem kaum was :/
misaki Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss jetzt einfach noch mal nachfragen - versteht den Beweis selber keiner oder ist einfach nur zu kompliziert/aufwändig ihn zu erklären?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo misaki,
ich kenne den fundamentalsatz der algebra natürlich, in eiinfachen worten
heisst das, das ein polynom n-ten grades im komplexen n nullstellen hat, wenn
man sie nach ihrer vielfachheit zählt. Du wirst hier glaube ich niemanden finden,
der dir den beweis in allesn einzelschritten erklärt, dazu ist er zu kompliziert.
dein professor benutzt unter anderem die vollst. induktion und mit dem "trick"
mit der kreisscheibe berweist er, dass sich keine nullstelle "verschlucken" kann.
Hoffe ich konnte dir weiterhelfen Wink
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du denn konkret benennen, wo es hapert?

Grob gesprochen sieht der Beweis ja so aus:

Im ersten Schritt (der deutlich einfachere Schritt) wird gezeigt, dass das betragsmäßige Infimum wirklich vom Polynom angenommen wird. Dies gelingt, indem man eine Kreisscheibe findet, außerhalb dessen das Polynom "zu groß" wird.
Dieses Prinzip kennt man doch schon von reellen Polynomen. Ab irgendeiner Grenze werden Polynome betragsmäßig beliebig groß, weil der Höchstkoeffizient dominiert.
Innerhalb dieser kompakten Kreisscheibe wird dann nach einem bekannten Satz aus der Analysis das Infimum angenommen.

Im zweiten Schritt wird gezeigt, dass das Infimum 0 sein muss. Dazu nimmt man an, es wäre nicht so und findet eine Stelle, an der das Polynom noch kleiner sein muss als ihr Infimum. Klarer Widerspruch!

Wie das genau angestellt wird, ist halt etwas trickreich. Das ist ja auch der Grund, warum der Fundamentalsatz damals nicht eben so im Vorbeigehen bewiesen wurde, das hat immerhin die damals größten Mathematik sehr lange beschäftigt.

Hier gibt es auf Seite 91 übrigens genau den selben Beweis, nur halt etwas anders aufgeschrieben. Vielleicht kannst du daraus ja mehr mitnehmen.

PS: Zur Info: Auch wenn es der Fundamentalsatz der Algebra ist, so ist dies doch ein rein analytischer Beweis (Es gibt auch rein algebraische Beweise), sodass das Thema eigentlich mehr in die Analysis gepasst hätte. Ich lasse es aber trotzdem mal hier.
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