Bogenlänge einer Funktion

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27.09.2011, 22:21	Manu_UTD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge einer Funktion Meine Frage: Möchte gerne die folgende Aufgabe lösen. Brauche dazu aber bisschen Hilfestellung. Berechne die Bogenlänge folgender Funktion: $\begin{eqnarray} \sqrt{(9-\sqrt[3]{x^{2})}^{3} } \end{eqnarray}$ Intervall [0,27] Meine Ideen: Habe es mal umgeformt und die erste Ableitung davon bestimmt: Nun herrscht Chaos so kann ich das nicht weiterverarbeiten:-( $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} (9-x^{2/3})^{1/2} (-\frac{2}{3} x^{-1/3} ) \end{eqnarray*}$ Wer kann helfen? Schreibe am Do. eine Klausur :-(
27.09.2011, 22:28	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja mach doch zunächst mal daraus $\begin{eqnarray} (9-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ Nun wird es ja alles recht hübsch, denn durchs Ableiten (Kettenregel) entsteht ja nachher dann nur noch eine normale Quadratwurzel und da ja in der Bogenlängen-Integralformel die 1. Ableitung nachher quadriert wird...
27.09.2011, 22:35	Manu_UTD	Auf diesen Beitrag antworten »
alleine schon den Weg kann ich gar nicht nachvollziehen...auch bei längerem Hinsehen nicht.
27.09.2011, 22:42	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Da musst du schon deutlicher werden was du nun genau meinst. Edit: Ich sehe gerade, du hattest ja schon die korrekte Ableitung gebildet. Nun müsstest du zunächst mal jeden Faktor quadrieren.
27.09.2011, 22:48	Manu_UTD	Auf diesen Beitrag antworten »
ah du hast mir den ersten Schritt gezeigt.... ich dachte du hättest das von mir zusammengefasst und das hätte ich nicht verstanden.. aber ich weiß absolut nicht wie ich das nun schöner schreibe?
27.09.2011, 22:53	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas schöner geschrieben: $\begin{eqnarray} f'(x)=-x^{-\frac{1}{3}} \cdot (9-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Und nun wie gesagt jeden Faktor quadrieren.
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27.09.2011, 22:58	Manu_UTD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -x^{-2/3} (9-x^{2/3}) \end{eqnarray*}$ wäre nun mein Vorschlag an dich.
27.09.2011, 23:02	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf das Minuszeichen am Anfang siehts gut aus. Nun multipliziere aus, so dass die Klammer wegfällt, addiere noch die 1 (denn in der Formel steht ja 1+f '(x) unter der Wurzel) und staune.
27.09.2011, 23:07	Manu_UTD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (9x^{-2/3}) \end{eqnarray}$ unter der Wurzel?
27.09.2011, 23:09	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Und davon die Wurzel zu ziehen sollte auch kein Problem mehr machen, oder ?
27.09.2011, 23:14	chili12	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry dass ich hier dazwischenschiesse, aber hier findet sich eine gute Erklärung zur Berechnung der Bogenlänge einer Funktion. Ich musste das nämlich noch nie machen und es hat mich interressiert. So müssen andere Neugierige nicht suchen. mathe-aufgaben.de/mathecd/DEMO-CD/4_Analysis/48_Integration/48130%20Bogenlaenge%20DEMO.pdf mfg
27.09.2011, 23:15	Manu_UTD	Auf diesen Beitrag antworten »
gewurzelt :-D $\begin{eqnarray} (9x^{-1/3}) \end{eqnarray}$ integriert: $\begin{eqnarray} \left[\frac{27}{2}x^{\frac{2}{3} }\right]_{0}^{27} \end{eqnarray}$
27.09.2011, 23:18	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Von der 9 darfst du auch ruhig die Wurzel ziehen, denn es gilt $\begin{eqnarray} \sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \end{eqnarray}$
27.09.2011, 23:20	chili12	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Sache verstehe ich nicht ganz man muss doch f'(x) erst quadrieren und danach die 1 addieren. Oder ist die Formel: $\begin{eqnarray} \int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}dx \end{eqnarray}$ falsch?
27.09.2011, 23:28	Manu_UTD	Auf diesen Beitrag antworten »
das haben wir doch gemacht chili. dann wäre das: 3x^(-1/3) und 9/2x^(2/3)
27.09.2011, 23:29	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, das wäre eine korrekte Stammfunktion. Nun nur noch die Grenzen einsetzen und fertig.
27.09.2011, 23:30	chili12	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok habs eben mal nachgerechnet $\begin{eqnarray} f'(x)^2= 9x^{-\frac{2}{3}}-1 \end{eqnarray}$
27.09.2011, 23:36	Manu_UTD	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du mir jetzt nochmal erklären könntest warum das - falsch zuvor beim quadrieren. habe mir das -x^(-1/3) angesehen und dann -1/3 * 2 = -2/3 gerechnet und den Rest davor belassen Ansonsten bereits an dieser Stelle schon mal herzlichen Dank an dich!
27.09.2011, 23:41	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (-x^{-\frac{1}{3}})^2=(-1 \cdot x^{- \frac{1}{3}})^2=(-1)^2 \cdot (x^{- \frac{1}{3}})^2=... \end{eqnarray}$ Nun klar wie man drauf kommt ?
27.09.2011, 23:48	Manu_UTD	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaahhhhhhhhhh DANKE!!!!! Gute Nacht und bis demnächst...
27.09.2011, 23:50	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Dir auch eine gute Nacht und viel Erfolg weiterhin.

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