Charakteristisches Polynom und Eigenwerte

28.09.2011, 12:50

martha.1981

Charakteristisches Polynom und Eigenwerte

Zitat:

Sei V F-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} f:V\to V \end{eqnarray*}$ durch die Matrix A beschrieben. Dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda\in F \end{eqnarray*}$ genau dann ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wenn

$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda I)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Beweis im Skript: Ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert, so ist $\begin{eqnarray*} A-\lambda I \end{eqnarray*}$ singulär somit $\begin{eqnarray*} det(A-\lambda I)=0 \end{eqnarray*}$ . Rückrichtung analog.

Ja gut, aber das erklärt mir immer noch nicht, warum aus $\begin{eqnarray*} A-\lambda I \end{eqnarray*}$ singulär folgt, dass es min. einen Vektor $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt, für den $\begin{eqnarray*} (A-\lambda I)a=0 \end{eqnarray*}$ gilt und andersrum.

Aber dann ist folgende Überlegung vielleicht richtig?

Sei $\begin{eqnarray*} dim(V)=n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} B:= A-\lambda I\in F^{n\circ n} \end{eqnarray*}$ nicht regulär, also singulär.
dann ist rk(B)<n, dann gilt $\begin{eqnarray*} dim(ker(B))=dimV-rkB>0 \end{eqnarray*}$ woraus folgt, dass ein $\begin{eqnarray*} 0\neq a\in ker(B) \end{eqnarray*}$ existiert und damit ein Eigenvektor zu $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ was deshalb ein Eigenwert ist.

Ist das richtig argumentiert?

m.

28.09.2011, 13:01

galoisseinbruder

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Ja.
Die Argumentationskette lässt sich auch rückwärts machen.

28.09.2011, 16:45

martha.1981

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Ich Danke!

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