Picard Lindelöf Iteration

28.09.2011, 13:59

Hasselpuff

Picard Lindelöf Iteration

Hallo zusammen!

Schreibe nächste Woche Klausur und diese eine Aufgabe ist mir absolut unklar.

Gegeben ist eine Matrix
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=Ay \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'=f(x,y) \end{eqnarray*}$

a) Zeigen das f einer Lipschitzbedingung bzgl y genügt.
b)Die zum AWP
$\begin{eqnarray*} y'=f(x,y) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} y(0)=(a, b, c) \end{eqnarray*}$
äquivalente Integralgleichung aufstellen.
c) Die ersten drei Iterierten nach Picard Lindelöf berechnen.
d) Lösung des AWP

Es hapert schon bei dem ersten Aufgabenteil.
Ich weiß das es erfüllt ist wenn die Ableitung beschränkt ist...aber das ist ne Matrix...wie soll ich das da denn festellen Oo?
Was den Rest angeht...das sagt mir alles so gar nichts.

28.09.2011, 14:14

Cel

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Hallo, nun, rechne doch mal Ay explizit aus. Wir brauchen hier keine Ableitungen, es klappt sowieso nur mit eindimensionalen Funktionen.

Wie gesagt, rechne Ay aus, bilde denn die Differenz $\begin{eqnarray*} \|f(x, \tilde y) - f(x, \hat y) \| \end{eqnarray*}$ (das soll ja kleiner als $\begin{eqnarray*} L \cdot \|\tilde y - \hat y \| \end{eqnarray*}$ sein) und dann kann man eine L-Konstante schnell sehen.

28.09.2011, 14:18

Gast11022013

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RE: Picard Lindelöf Iteration
Bei c) ist die Picard-Iteration gemeint, oder?

28.09.2011, 14:40

Cel

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Joa, so denk ich mir das auch.

28.09.2011, 14:42

Hasselpuff

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@Cel
Das wäre dann ja der Vektor $\begin{eqnarray*} Ay=(y_2, y_3, 0) \end{eqnarray*}$
wenn ich nun zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} (a,b,c) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (d,e,f) \end{eqnarray*}$ nehme muss also
$\begin{eqnarray*} \sqrt((b-e)^2+(c-f)^2) <L\sqrt((a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2) \end{eqnarray*}$ sein und L somit einfach nur >1?

@Dennis

Ja Genau. Hab das Verfahren jetzt sogar rausgefunden.
Aber was die Integralgleichung sein soll versteh ich noch nicht.

28.09.2011, 14:49

Cel

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Zitat:

Original von Hasselpuff
Das wäre dann ja der Vektor $\begin{eqnarray*} Ay=(y_2, y_3, 0) \end{eqnarray*}$

Genau.

Zitat:

Original von Hasselpuff
wenn ich nun zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} (a,b,c) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (d,e,f) \end{eqnarray*}$ nehme muss also
$\begin{eqnarray*} \sqrt((b-e)^2+(c-f)^2) <L\sqrt((a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2) \end{eqnarray*}$ sein und L somit einfach nur >1?

Wenn du möchtest, ja. Aber auch L=1 passt.

Für die Gleichung guck mal hier.

28.09.2011, 14:58

Hasselpuff

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Super! Habs kapiert. Dankeschön!

28.09.2011, 15:03

Gast11022013

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Ich gebe Dir einfach mal zwei Beispiele zur Picard-Iteration, vielleicht bringen die Dich weiter. Du siehst an den Beispielen einmal (was für Dich relevant sein wird), wie die Iterierten bestimmt werden und dann auch, wie man zu einer Lösung kommt (wofür man dieses Verfahren ja eigentlich benutzt).

1.)

Bei dem Anfangswertproblem $\begin{eqnarray*} \dot{x}=\ln t, x(t_0)=x_0, t_0>0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_k(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}\ln s \, ds=x_0+t\ln t-t-t_0\ln t_0+t_0 \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet, daß die Folge der Iterierten in trivialer Weise konvergiert. Schon die erste Iterierte $\begin{eqnarray*} \lambda_1(t) \end{eqnarray*}$ ist die gesuchte Grenzfunktion, die eine Lösung des Problems ist. Analog ist das übrigens für alle Differentialgleichungen, bei denen die rechte Seite ausschließlich von t abhängt.

2.)

Sei $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ fest. Man erhält dann für das Anfangswertproblem $\begin{eqnarray*} \dot{x}=\alpha x, x(t_0)=x_0 \end{eqnarray*}$ der Reihe nach für alle $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_0(t)=x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}\alpha x_0 \, ds=x_0(1+\alpha(t-t_0)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}\alpha x_0(1+\alpha(s-t_0)) \, ds=x_0\left(1+\alpha(t-t_0)+\frac{\alpha^2 (t-t_0)^2}{2}\right) \end{eqnarray*}$

und man kann mit vollständiger Induktion schließen, daß

$\begin{eqnarray*} \lambda_k(t)=x_0\sum_{i=0}^{k}\frac{\alpha^i(t-t_0)^i}{i!} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N_0, t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Die Folge der Picard-Iterierten konvergiert hier für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen die Lösung $\begin{eqnarray*} \lambda_{\infty}(t)=x_0e^{\alpha(t-t_0)} \end{eqnarray*}$

28.09.2011, 15:17

Hasselpuff

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Super, dankeschön!

Ist ja gar nicht so kompliziert wie es scheint Big Laugh

28.09.2011, 15:21

Gast11022013

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Das ist nur ein Einsetzen und Umformen eigentlich.
Das Vorgehen ist ja immer gleich.

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