Grenzwert einer Reihe

29.12.2006, 17:59

biffbaff

Grenzwert einer Reihe

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2(k+1)} = \frac{\pi^{2}-6}{6} \end{eqnarray*}$ ist.

Hinweis: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$

Ne Idee wie man da ansetzen kann?

29.12.2006, 18:25

vektorraum

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RE: Grenzwert einer Reihe
Hi!

Ohne es jetzt bis zum Ende durchgerechnet zu haben, würde ich erstmal den Ansatz zur Partialbruchzerlegung machen. Dann kannst du zumindest den Wert der unter dem Hinweis angegebenen Reihe einsetzen, der Rest müsste dann einfach sein.
Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{k^2(k+1)}=\cfrac{Ak+B}{k^2}+\cfrac{C}{k+1} \end{eqnarray*}$

Vielleicht gibt es noch einen einfacheren, den ich aber jetzt nicht so sehe. Nächste Mal wäre es auch sehr schön, wenn du erstmal deine eigenen Ideen aufschreibst Augenzwinkern

Edit: Code

29.12.2006, 20:57

Leopold

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Diese Zerlegung bringt wohl nicht viel, da sie divergente Summanden führt. Mehr nützt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2} - \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \end{eqnarray*}$

29.12.2006, 22:20

vektorraum

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@Leopold: Nun ja, so war ja erstmal der Ansatz gewesen. Hatte dann erhalten:

$\begin{eqnarray*} \cfrac{-k+1}{k^2}+\cfrac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

Nun hab ich noch den ersten Ausdruck auseinandergezogen und erhalte letztendlich

$\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{k^2}+\cfrac{1}{k+1}-\cfrac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Also letztendlich das gleiche wie du (habs vielleicht ein bisschen zu kompliziert gemacht Augenzwinkern

)...

29.12.2006, 22:27

Leopold

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Hast recht ...

30.12.2006, 00:15

SilverBullet

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Könnte das trotzdem jemand mal bis zum Ende auflösen ?

Wir haben also :

$\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{k^2}+\cfrac{1}{k+1}-\cfrac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Nach dem Hinweis ist also das erste :

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$

wie bekommt man denn den Rest auf - 6/6 bzw -1 ??

30.12.2006, 04:16

sqrt(2)

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Das ist eine Teleskopreihe. Schreib dir mal die ersten paar Glieder auf, du wirst sehen, was passiert.

30.12.2006, 11:33

biffbaff

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was ist denn eine Teleskopreihe?

30.12.2006, 11:36

therisen

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Eine Teleskopsumme ist in der Mathematik eine endliche Summe von Differenzen, bei der je zwei Nachbarglieder (außer dem ersten und dem letzten) sich gegenseitig aufheben.

30.12.2006, 12:35

vektorraum

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Zitat:

Original von SilverBullet
Könnte das trotzdem jemand mal bis zum Ende auflösen ?

wie bekommt man denn den Rest auf - 6/6 bzw -1 ??

@SilverBullet: Nun ja, der Sinn und Zweck des Forums besteht ja nicht darin, dass WIR die Aufgabe loesen, sondern der Aufgabensteller... Ich gehe doch davon aus, dass wir so viele Tipps gegeben haben, so dass die Aufgabe jetzt machbar ist. Also selbst mal nachdenken verwirrt

30.12.2006, 12:42

Calvin

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt schreibe dir mal die ersten und die letzten paar Summanden der letzten Summe hin.

30.12.2006, 14:50

Mathespezialschüler

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Aber die Klammern nicht vergessen, Calvin!

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n~\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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