Summenzeichen Index verschieben

28.09.2011, 18:48

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Summenzeichen Index verschieben

Hallo Leute ,

Es geht um folgendes Problem , ich möchte den Index folgender Potenzreihe verschieben damit ich besser damit rechnen kann.Aber dabei bin ich nach mehreren problemfreien Rechnungen darauf gestoßen :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{n!}{n^{n}}x^{n} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{n!}{n^{n}}x^{n} - \frac{0!}{0^{0}}x^{0} \end{eqnarray*}$ Das kann doch so nicht sein ...

Schönen Abend und danke für jede Hilfe smile

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28.09.2011, 18:50

Pascal95

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In deiner Summe taucht doch gar kein k auf Augenzwinkern

28.09.2011, 18:57

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Zitat:

Original von Pascal95
In deiner Summe taucht doch gar kein k auf Augenzwinkern

Was mach ich denn dann mit der Summe ? Das ist doch eine geometrische Reihe und da betrachte ich für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^{k} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } |\frac{a_{n+1} }{a_{n} }| \end{eqnarray*}$ Was ja nicht geht wenn der Index schon bei 1 beginnt ... verwirrt

28.09.2011, 19:02

Pascal95

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RE: Summenzeichen Index verschieben

Zitat:

Original von isbn
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{n!}{n^{n}}x^{n} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{n!}{n^{n}}x^{n} - \frac{0!}{0^{0}}x^{0} \end{eqnarray*}$ Das kann doch so nicht sein ...

Das ist ja:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{n!}{n^{n}}x^{n} = \frac{n!}{n^{n}}x^{n}+ \frac{n!}{n^{n}}x^{n}+ \frac{n!}{n^{n}}x^{n}+ \frac{n!}{n^{n}}x^{n}+\ldots \end{eqnarray*}$

Weißt du, was ich meine?

Allerdings verstehe ich dein Problem nicht.

Geht es dir nur darum, zu wissen, wie $\begin{eqnarray*} \frac{0!}{0^{0}}x^{0} \end{eqnarray*}$ definiert ist ?

28.09.2011, 19:05

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Ich hab ja aus der Summe im Prinzip das 1. Element rausgezogen damit die Summe bei 0 beginnt und den Limes wie oben betrachten darf ... Aber dann musste ich halt durch 0^0 teilen und dass ist doch garnicht definiert geschockt

28.09.2011, 19:12

Pascal95

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Muss es ja auch nicht.

Das Problem ist eigentlich schon vorher entstanden, nämlich als zu den Startindex auf $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ geändert hast.

Da tauchte ja schon eben jenes Problem auf.

Wenn man sich die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac1k \end{eqnarray*}$ mal ansieht, könnte man schnell glauben, man könne bei 0 beginnen und zum Ausgleich den ersten neu entstandenen Summanden $\begin{eqnarray*} \frac10 \end{eqnarray*}$ zu subtrahieren.

Das geht aber nicht, da $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac1k \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert ist Augenzwinkern

28.09.2011, 19:16

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Zitat:

Original von Pascal95
Muss es ja auch nicht.

Das Problem ist eigentlich schon vorher entstanden, nämlich als zu den Startindex auf $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ geändert hast.

Da tauchte ja schon eben jenes Problem auf.

Wenn man sich die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac1k \end{eqnarray*}$ mal ansieht, könnte man schnell glauben, man könne bei 0 beginnen und zum Ausgleich den ersten neu entstandenen Summanden $\begin{eqnarray*} \frac10 \end{eqnarray*}$ zu subtrahieren.

Das geht aber nicht, da $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac1k \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert ist Augenzwinkern

Achsoo ich denke ich verstehe Big Laugh

Das heißt in diesem Fall muss ich sogar bei 1 anfangen , ja ? k=1 ist also mein Index und den kann ich so lassen und weiter rechnen ? Big Laugh

28.09.2011, 19:23

Pascal95

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Ja, also ich bin mir nicht 100% sicher, ob ich dich jetzt richtig verstehe.
Aber ich glaube, dass es für dich klar geworden ist.

Also: Man darf nicht einfach auf k=0 ändern, selbst wenn man dann den zusätzlichen Summanden gleich wieder abzieht. Der Fehler entsteht schon dabei, wenn man auf k=0 ändert.

auch ein ganz einfaches Beispiel:

Zitat:

Original von Pascal95
Das geht aber nicht, da $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac1k \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert ist Augenzwinkern

Man darf also nicht auf k=0 ändern!

28.09.2011, 19:32

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Zitat:

Original von Pascal95
Ja, also ich bin mir nicht 100% sicher, ob ich dich jetzt richtig verstehe.
Aber ich glaube, dass es für dich klar geworden ist.

Also: Man darf nicht einfach auf k=0 ändern, selbst wenn man dann den zusätzlichen Summanden gleich wieder abzieht. Der Fehler entsteht schon dabei, wenn man auf k=0 ändert.

auch ein ganz einfaches Beispiel:

Zitat:

Original von Pascal95
Das geht aber nicht, da $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac1k \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert ist Augenzwinkern

Man darf also nicht auf k=0 ändern!

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-3)^{n}}{\sqrt{n+1} }x^{n}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-3)^{n} }{\sqrt{n+1} } - \frac{(-3)^{0}}{\sqrt{0+1} } x^{0} \end{eqnarray*}$ aber hier geht das doch oder nicht ? Da teile ich doch nicht durch 0 ...

28.09.2011, 19:36

Pascal95

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Ich wette, du meinst $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \ldots \end{eqnarray*}$ ....

28.09.2011, 19:40

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Zitat:

Original von Pascal95
Ich wette, du meinst $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \ldots \end{eqnarray*}$ ....

Habs jetzt original angehangen ... Ist ne alte Klausuraufgabe geschockt

Aufgabe : Bestimmen die die Konvergenzradii der Potenzreihen

28.09.2011, 19:49

Mulder

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Wo liegt eigentlich das Problem mit diesem 0^0? Das definiert man sich hier als 1 und gut ist. Dann hat man nichts falsch gemacht (die Frage nach der Sinnhaftigkeit der Indexverschiebung jetzt gänzlich außenvor). Das wird ja gerade im Falle von Potenzreihen des öfteren so gehandhabt (Beispiel Reihendarstellung der e-Funktion an der Stelle x=0).

Ansonsten will ich mich aber nicht weiter einmischen. Die Klausuraufgabe ist wohl entweder eine Scherzfrage oder da war ein Depp an der Arbeit.

28.09.2011, 19:59

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Zitat:

Original von Mulder
Wo liegt eigentlich das Problem mit diesem 0^0? Das definiert man sich hier als 1 und gut ist. Dann hat man nichts falsch gemacht (die Frage nach der Sinnhaftigkeit der Indexverschiebung jetzt gänzlich außenvor). Das wird ja gerade im Falle von Potenzreihen des öfteren so gehandhabt (Beispiel Reihendarstellung der e-Funktion an der Stelle x=0).

Ansonsten will ich mich aber nicht weiter einmischen. Die Klausuraufgabe ist wohl entweder eine Scherzfrage oder da war ein Depp an der Arbeit.

Ok , wenn ich es als 1 definiere kann ich problemlos weiter rechnen smile

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