Extremwertaufgabe Volumina

29.12.2006, 18:10

Extremwertaufgabe Volumina

Einer Kugel soll ein gerader Kegel einbeschrieben werden. Gesucht ist der maximale Anteil, den das Volumen des Kegels haben kann (In Bezug auf die Kugel).

Ich würde da um Ansätz bitten.

29.12.2006, 18:29

tigerbine

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RE: Extremwertaufgabe Volumina
$\begin{eqnarray*} \text{Volumen der Kugel: }V_{Ku}=\frac{4}{3}(r_{Ku})^3\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Volumen des Kegels: }V_{Ke}=\frac{1}{3}(r_{Ke})^2\pi \cdot h_{Ke} \end{eqnarray*}$

EDIT: Leider habe ich mich von dem Bild in meiner Formelsammlung täuschen lassen, so dass das bislang formulierte eine Halbkugel mit "auf dem Kopf stehendem " Kegel darstellte.

$\begin{eqnarray*} \text{Die Maximalhöhe des einbeschriebenen Kegels beträt }2\cdot r_{Ku}\text{ Für den Zusammenhang h/r des Kegels gilt } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{(Höhensatz um rechtwinkligen Dreieck):} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (r_{Ke})^2 = h_{Ke} \cdot (2\cdot r_{Ku} - h_{Ke}),~h_{Ke} \in [0;2r_{Ku}] \end{eqnarray*}$

Das setzten wir jetzt in die Volumenformel ein:

$\begin{eqnarray*} V_{Ke}=\frac{1}{3}\pi \cdot h_{Ke} \cdot (2\cdot r_{Ku} - h_{Ke}) \cdot h_{Ke}= \frac{2}{3}\pi \cdot r_{Ku}\cdot (h_{Ke})^2 -\frac{1}{3}\pi\cdot (h_{Ke})^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V'_{Ke}=\frac{4}{3}\pi \cdot r_{Ku}\cdot (h_{Ke}) - \pi \cdot (h_{Ke})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 =\frac{4}{3}\pi \cdot r_{Ku}\cdot (h_{Ke}) - \pi \cdot (h_{Ke})^2 = \pi \cdot(h_{Ke})\cdot[\frac{4}{3}\cdot r_{Ku} - h_{Ke}]\Rightarrow h_{Ke} = \frac{4}{3}\cdot r_{Ku} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V''_{Ke} = \frac{4}{3}\pi \cdot r_{Ku} - 2\pi(h_{Ke}) <0 \Rightarrow \text{ Maximum} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{Ke}=\frac{2}{3}\pi \cdot r_{Ku}\cdot (\frac{4}{3}\cdot r_{Ku})^2 -\frac{1}{3}\pi\cdot (\frac{4}{3}\cdot r_{Ku})^3 = \frac{32}{81}\pi \cdot r_{Ku}^3=\frac{8}{27} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_{Ku}^3 \end{eqnarray*}$

29.12.2006, 18:38

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Es bleibt die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}r^2 h-h²r\pi-\frac{1}{3}h³\pi \end{eqnarray*}$

oder?? Bitte Berichtigte Gleichung wenn meine falsch sein sollte!

29.12.2006, 20:30

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Könnte jemand sich dieser Aufgabe bitte noch mal widmen...

Müsste das noch heute wissen, weil ichs morgen brauche... Bitte!! Danke im Voraus

29.12.2006, 20:36

tigerbine

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Drängeln mag ich eigentlich gar nicht böse

Ich schaus's mir an, aber musst Geduld haben. Kriegst heute noch Anwort, weiß aber nicht wann Augenzwinkern

29.12.2006, 22:42

tigerbine

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Siehe Editierten Beitrag

01.01.2007, 11:45

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Ich komme dann irgendwie auf r+(1/3)r² und r-(1/3)r²??

Und was sagt mir das jetzt über den maximalen Anteil den der Kegel in der Kugel einnehmen kann?

01.01.2007, 14:07

tigerbine

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Siehe Editierten Beitrag.

01.01.2007, 19:16

sanny121289

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lol na hi =)
wen haben wir denn da aus meinem leistungskurs, na? *gg*

ps: die antwort zu der aufgabe steht schon im internet, man muss nur ein bissel goggeln =)

01.01.2007, 19:55

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Wenn das so ist dann gib ma bitte die google-Begriffe oder den Link! Danke!

01.01.2007, 20:15

tigerbine

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Zitat:

Link: $\begin{eqnarray*} V=1/3*\Pi*8/9R²*4/3R=32/81*\Pi*R³ \end{eqnarray*}$

Wer sich die Mühe gemacht hätte meinen edit zu lesen:

Zitat:

tigerbine:

$\begin{eqnarray*} V_{Ke}=\frac{2}{3}\pi \cdot r_{Ku}\cdot (\frac{4}{3}\cdot r_{Ku})^2 -\frac{1}{3}\pi\cdot (\frac{4}{3}\cdot r_{Ku})^3 = \frac{32}{81}\pi \cdot r_{Ku}^3=\frac{8}{27} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_{Ku}^3 \end{eqnarray*}$

01.01.2007, 20:47

mYthos

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@RS & @sanny..

Euer Verhalten ist ein Beispiel dafür, wie man die Helfer am besten verärgert. Falls ihr weitere Hilfe in diesem Board erwartet, denkt doch mal ein wenig darüber nach ....

mY+

01.01.2007, 20:59

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Ich habe schon bemerkt, dass das was tigerbine geschriebn hat dasselbe ist wie im Link, aber was hab ich da jetzt für einen Anteil?? Brauche einen Bruch der mir sagt wieviel V(kegel) maximal in V(kugel) einnimmt.

Wo kann ich das nun herauslesen??

01.01.2007, 21:01

tigerbine

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RS - putz dir mal die Brille. Wenn du die letzte Zeile meines Beitrags liest und weißt, wie man das Volumen der Kugel berechnet, dann steht der Bruch schon längst da! böse

Ich hab nämlich noch einen Schrit mehr wie der Link gemacht Augenzwinkern

01.01.2007, 21:10

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Sorry ich hab mal wieder nicht richtig hingesehen! Also sinds 8/27 ! Danke, danke

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