Verkettung, gleichmäßige Konvergenz, Beweis

29.09.2011, 00:45	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Verkettung, gleichmäßige Konvergenz, Beweis Servus Leute, [attach]21324[/attach] Mein Ansatz läuft auf einen Widerspruchsbeweis hinaus. Ich nehme also an, dass $\begin{eqnarray} (F \circ f_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ nicht gleichmäßig konvergiert, d.h. es existiert ein $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ , so dass zu jedem $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} \|F(f_n(x))-F(f(x))\| \geq \varepsilon \end{eqnarray}$ . Stimmt das erst mal bis dahin? Wenn ja, dann geht es weiter: $\begin{eqnarray} \|F(f_n(x))-F(f(x))\| \geq \varepsilon > 0 \Rightarrow F(f_n(x)) \neq F(f(x)) \end{eqnarray}$ Wenn zwei Funktionswerte nun ungleich sind, müssen die Urbilder auch ungleich sein. $\begin{eqnarray} \Rightarrow f_n(x) \neq f(x) \Rightarrow \|f_n(x)-f(x)\| > 0 \end{eqnarray}$ Und jetzt kann man ein $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ (nun in Bezug auf $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ) finden, das kleiner als dieser Betrag ist, denn zu einer echt positiven Zahl findet man eine kleinere, immer noch echt positive Zahl, z.B. $\begin{eqnarray} \varepsilon := \frac{\|f_n(x)-f(x)\|}2 \end{eqnarray}$ . Somit gilt: $\begin{eqnarray} \|f_n(x)-f(x)\| > \frac{\|f_n(x)-f(x)\|}2 = \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ Damit ist aber noch nicht ganz gezeigt, dass $\begin{eqnarray} (f_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ nicht gleichmäßig konvergiert, denn die Wahl von unserem letzten $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ darf nicht von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ abhängen, sondern muss für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gelten. Stimmt das bis dahin erst mal überhaupt?
29.09.2011, 02:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich hoffe ich vertu mich gerade nicht, aber das sollte ziemlich schnell direkt gezeigt sein. Du willst $\begin{eqnarray} \sup \|F(f_n(x)) - F(f(x))\| \end{eqnarray}$ abschätzen. Meine Idee wäre Stetigkeit von F auszunutzen, da das Argument davon gleichmäßig konvergiert, ist $\begin{eqnarray} \|f_n(x)-f(x)\| \end{eqnarray}$ für alle x bei geeigneter Wahl von n beliebig klein.
29.09.2011, 03:56	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, es ist schon spät, aber ist das kein Gegenbeispiel? Aus Trägheit verzichte ich mal auf Latex... F:IC->IC, x->x^n ist stetig fn: [0,1]->IC, x->x ist stetig und konv. glm. gegen f(x)=x Aber (F(fn))_n€IN konvergiert nicht glm, da Grenzfunktion unstetig. Ich denke es würde klappen, wenn man F als glm stetig voraussetzt. Edit: Ach, verdammt mit den n's durcheinander gekommen Edit2: Jetzt bin ich der Meinung die Aufgabe stimmt, man kann doch zeigen, dass die fn und f gleichmäßig beschränkt sind, dann liegen also die Bilder aller fn und f in einer kompakten Teilmenge und auf dieser ist F glm stetig.
29.09.2011, 17:49	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit der Kompaktheit ist ein guter Tipp. Dann versuche ich es noch mal. Für jedes n ist $\begin{eqnarray} F\|_{f_n([a,b])} \end{eqnarray}$ jeweils gleichmäßig stetig, da $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ stetig und $\begin{eqnarray} f_n([a,b]) \end{eqnarray}$ kompakt, weil das Bild einer auf einem kompakten Intervall definierten stetigen Funktion wieder kompakt ist. Somit hängt die Wahl von $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ nicht mehr von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ab und man kann fast sagen: $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall f_n(x),f(x) \in \mathbb C: \|f_n(x)-f(x)\|<\delta \Rightarrow \|F(f_n(x))-F(f(x))\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall n\in\mathbb N: \|f_n(x)-f(x)\|<\delta \Rightarrow \|F(f_n(x))-F(f(x))\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ Ich müsste aber noch zeigen, dass die unendliche Vereinung $\begin{eqnarray} \bigcup_{n \in \mathbb N}f_n([a,b]) \cup f([a,b]) \end{eqnarray}$ kompakt ist. Wenn das gezeigt ist, ist nur noch ein Schritt zu machen, denn wegen der gleichmäßigen Konvergenz von $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ findet man immer ein $\begin{eqnarray} \varepsilon' \leq \delta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|f_n(x)-f(x)\|<\varepsilon' \end{eqnarray}$ und damit ist die gleichmäßige Konvergenz von $\begin{eqnarray} F\circ f_n \end{eqnarray}$ gezeigt. Was sagt ihr dazu? Geht es irgendwie eleganter?
29.09.2011, 19:47	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich habe mir das so gedacht, zu epsilon =1 gibt es ein N, so dass \|fn(x)-f(x)\|<1 für alle n>N und alle x aus [a,b] => 0<= sup \|fn(x)\| <= sup \|f(x)\| +1 fur n>N also sup\|fn(x)\| <= M:=Max{ sup\|f1(x)\|,... sup\|f_N(x)\|, sup\|f(x)\|+1} fur alle n D.h. fn(x), f(x) € abgeschlossener Kreis um 0 mit Radius M, fur alle n aus IN und x aus [a,b]. Eleganter wüsste ich jetzt nicht. Hoffe das hat geholfen!

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