Nullstelle gebrochener Rationalfunktion

29.09.2011, 09:24

Pjee

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Nullstelle gebrochener Rationalfunktion

Meine Frage:
Hallo,
habe folgende Funktion:
$\begin{eqnarray*} f_{t} (x) = x + \frac{t}{x} \end{eqnarray*}$
Wie wandle ich dieses $\begin{eqnarray*} \frac{t}{x} \end{eqnarray*}$ um?
Wisst ihr welche Formel es dafür gibt? Weil ich möchte gerne die Nullstelle davon berechnen. Wie gehe ich vor?

Meine Ideen:
Habe keine Ahnung. Aber ich denke mal man muss das mit einer bestimmten Formel erst zu einer "normalen" ganzrationalen Funktion umwandeln. Oder?

Vielen Dank im vorraus.

MfG

29.09.2011, 09:27

Pi von Lyrelda

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versuch es mal damit, dass du beide Suammenden als ein Bruch schreibst, suche also den Hauptnenner und bringe beide Summanden auf diesen Hauptnenner!

Dann kannst du den neuen Zähler betrachten und due Nullstelle(n) bestimmen

29.09.2011, 10:26

Alive-and-well

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Du kannst die funktion auch einfach null setzten.
also $\begin{eqnarray*} 0 = x+ \frac{t}{x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

29.09.2011, 10:32

Pi von Lyrelda

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bleibt sich schlussendlich fast gleich^^ der zweite Weg ist aber vielleicht intuitiver

29.09.2011, 13:53

Pjee

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Achso das ist ja total leicht smile

smile

$\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = x + \frac{t}{x} \end{eqnarray*}$
Dann nach x auflösen:
$\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{-t} \end{eqnarray*}$
Und schon hat man die Nullstelle, danke euch !

Aber noch eine Frage. Wie berechne ich jetzt den Hoch und Tiefpunkt der Funktion f.
Ich muss ja erst die erste Ableitung bilden. Also die Ableitung von
$\begin{eqnarray*} f_{t} (x) = x + \frac{t}{x} \end{eqnarray*}$
Wie mache ich das?
Gruß

29.09.2011, 13:55

Pi von Lyrelda

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$\begin{eqnarray*} f_t (x) = x + t\cdot x^{-1} \end{eqnarray*}$

hilft dir diese Schreibweise weiter?

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29.09.2011, 14:06

Pjee

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Ach man muss das umwandeln, wusste die Regel dazu nicht danke dir Big Laugh

Big Laugh

Also die erste Ableitung habe ich jetzt:
$\begin{eqnarray*} f_{t}'(x) = -x^{-2} + 1 \end{eqnarray*}$
Jetzt muss ich doch einfach wieder nullsetzen, also:
$\begin{eqnarray*} 0 = -x^{-2} + 1 \end{eqnarray*}$
Dann muss ich * (-1) rechnen. Dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} 0 = x^{2} - 1 \end{eqnarray*}$
Jetzt einfach die PQ-Formel anwenden, stimmts?

Gruß

29.09.2011, 14:09

Pi von Lyrelda

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leite mal $\begin{eqnarray*} 2\cdot x \end{eqnarray*}$ ab - was passiert mit der 2?

Dann überleg dir mal ob du nicht irgendwo ein t verloren hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.09.2011, 14:14

Pjee

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Ach es heißt ja "mal" t und nicht "plus".

Dann ist die Ableitung so:
$\begin{eqnarray*} f_{t}'(x) = -tx^{-2} + 1 \end{eqnarray*}$

29.09.2011, 14:34

Pi von Lyrelda

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genau,...

pq-Formel wäre in dem Fall mit Kanonen auf Spatzen geschossen, da es ja keinen gemischten Term gibt

29.09.2011, 14:53

Pjee

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Hab einfach auf x aufgelöst mit der Äquivalenzumformung es kam raus:
$\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{t} \end{eqnarray*}$

So jetzt hab ich die 2. Ableitung berechnet, undzwar:
$\begin{eqnarray*} f_{t}''(x) = -2tx^{-3} \end{eqnarray*}$

Jetzt setzte ich die oben genannten Nullstellen in die 2. Ableitung ein also:
$\begin{eqnarray*} f_{t}''(x) = -2t*(\sqrt{t})^{3} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f_{t}''(x) = -2t*(-\sqrt{t})^{3} \end{eqnarray*}$

Daran sieht man jetzt, dass es einen Tiefpunkt und einen Hochpunkt gibt bei:
$\begin{eqnarray*} H(\sqrt{t}|f_{t}(\sqrt{t} )) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T(-\sqrt{t}|f_{t}(-\sqrt{t} )) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

MfG =)

29.09.2011, 14:55

Pi von Lyrelda

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minus mal minus gibt ?

Sprich überprüfe dein Vorzeichen bei der 2. Ableitung Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.09.2011, 14:58

René Gruber

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@Pjee

Du hast bisher noch keinen Ton darüber gesagt, welche Werte dein Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ annehmen kann. Jedenfalls ist die Angabe deiner Nullstellen im Fall $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ zweifelhaft, ebenso die Angabe deiner Extremstellen im Fall $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ .

29.09.2011, 15:00

Pjee

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Ich verbesser mal:

Hab einfach auf x aufgelöst mit der Äquivalenzumformung es kam raus:
$\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{t} \end{eqnarray*}$

So jetzt hab ich die 2. Ableitung berechnet, undzwar:
$\begin{eqnarray*} f_{t}''(x) = 2tx^{-3} \end{eqnarray*}$

Jetzt setzte ich die oben genannten Nullstellen in die 2. Ableitung ein also:
$\begin{eqnarray*} f_{t}''(x) = 2t*(\sqrt{t})^{3} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f_{t}''(x) = 2t*(-\sqrt{t})^{3} \end{eqnarray*}$

Daran sieht man jetzt, dass es einen Tiefpunkt und einen Hochpunkt gibt bei:
$\begin{eqnarray*} T(\sqrt{t}|f_{t}(\sqrt{t} )) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H(-\sqrt{t}|f_{t}(-\sqrt{t} )) \end{eqnarray*}$

So stimmts, oder?

29.09.2011, 15:02

Pjee

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@ René Gruber

Danke für deine Antwort. Aber ich wollte erstmal die Aufgaben rechnen um sicher zu gehen ob ich alles richtig mache und anschließend sagen welche Werte man für t einsetzen kann. Also für die Nullstellen gilt: t > 0 (Man kann ja nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, deswegen muss t größer als 0 sein).

29.09.2011, 15:03

Pi von Lyrelda

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Freude

29.09.2011, 15:06

Pjee

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smile

Danke dir!
Also kann man jetzt sagen, dass für die Nullstellen und für die Extremstellen folgende Regel gilt: t > 0
Oder?

29.09.2011, 15:10

Pjee

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Stopppppppppp....
Also bei den Nullstellen gilt: $\begin{eqnarray*} t\geq0 \end{eqnarray*}$
Und bei den Extremstellen darf t nicht = 0 sein, deswegen gilt nur t > 0.
So stimmt es oder?

29.09.2011, 15:13

Pi von Lyrelda

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Geh mal davon aus, das t>0 ist, was folgt dann für die NST?

29.09.2011, 15:22

René Gruber

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Zitat:

Original von Pjee
Also für die Nullstellen gilt: t > 0

Soso. Vielleicht überlegst du dir das besser nochmal, ich rufe dazu nochmal dein obiges Ergebnis in Erinnerung:

Zitat:

Original von Pjee
Dann nach x auflösen:
$\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{-t} \end{eqnarray*}$
Und schon hat man die Nullstelle, danke euch !

29.09.2011, 15:41

Pjee

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@ Pi von Leyrekla:
Ja also wenn der Wert von t größer als 0 ist oder gleich 0, dann kann man die Wurzel aus diesem Wert ziehen. Beispielsweise t ist 5. Dann ist die Lösung:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{5} \end{eqnarray*}$
Aber bei einem negativen Wert würde das halt nicht klappen, da man nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann.

Und bei den Extremstellen darf t nur größer als 0 sein, aber NICHT kleiner oder gleich 0.
Weil wenn t = 0 ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} f_{t}''(\sqrt{0} ) = 0 \end{eqnarray*}$
Und es heißt ja wenn die zweite Ableitung 0 ist dann gibt es keine Extremstelle an diesem Punkt.
Stimmt doch oder was mach ich falsch?

@ René Gruber:
Mein obiges Ergebnis war aber falsch. Das richtige Ergebnis ist:
$\begin{eqnarray*} x_{1} = \sqrt{t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2} = -\sqrt{t} \end{eqnarray*}$

29.09.2011, 15:48

René Gruber

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Zitat:

Original von Pjee
Mein obiges Ergebnis war aber falsch. Das richtige Ergebnis ist:
$\begin{eqnarray*} x_{1} = \sqrt{t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2} = -\sqrt{t} \end{eqnarray*}$

Wenn es immer noch um

$\begin{eqnarray*} f_{t} (x) = x + \frac{t}{x} \end{eqnarray*}$

geht, war das Ergebnis mit dem $\begin{eqnarray*} \sqrt{-t} \end{eqnarray*}$ mitnichten falsch, sondern sehr wohl richtig. Wir reden doch von den Nullstellen der Funktion, nicht von denen der Ableitung!

29.09.2011, 15:48

Pjee

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@ René Gruber:
Du hast Recht !!! Tut mir leid.
Es gilt: t < oder = 0.

29.09.2011, 15:53

Pi von Lyrelda

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geh es mal anderes herum an!

Setze t<0 oder t>0 vorraus und schau dir die Folgen davon an!

29.09.2011, 15:55

Pjee

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Zitat:

Original von Pi von Lyrelda
geh es mal anderes herum an!

Setze t<0 oder t>0 vorraus und schau dir die Folgen davon an!

Ja also, bei den Nullstellen:
t darf NICHT größer als null sein. Sondern entweder kleiner oder gleich 0.
Also:
$\begin{eqnarray*} t\leq0 \end{eqnarray*}$

29.09.2011, 15:57

Pi von Lyrelda

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:-D

ich formuliere es anders:

Was passiert wenn ich t>0 ansetze?

29.09.2011, 15:58

Pjee

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Zitat:

Original von Pi von Lyrelda
:-D

ich formuliere es anders:

Was passiert wenn ich t>0 ansetze?

Dann ist die Zahl unter der Wurzel negativ und das heißt es gibt keine Lösung für t>0 !
Deswegen $\begin{eqnarray*} t\leq0 \end{eqnarray*}$

he, was mach ich denn falsch Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

29.09.2011, 16:00

Pjee

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Also ich gib mal ein Beispiel für t>0:
Sagen wir t = 4

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{-4} \end{eqnarray*}$
Und das klappt ja nicht, weil man nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann.

29.09.2011, 16:00

Pi von Lyrelda

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Nun die Aufgabe war doch vermutlich nicht ein t zu suchen für das es Nullstellen und Extrempunkte gibt.
Vermutlich stand dort sogar t>0 oder t<0 (vllt auch mit =)

Daraus musst du dann Rückschlüsse ziehen, so wäre eben vllt keine NST oder kein EP vorhanden...

ansonsten musst du eine Fallunterscheidung machen - sprich du musst selbst sagen für t>0 folgt... für t<0 folgt...

29.09.2011, 16:02

Pjee

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^^ Tut mir leid hab nicht mal die Aufgabenstellung aufgeschrieben.
"Nun die Aufgabe war doch vermutlich nicht ein t zu suchen für das es Nullstellen und Extrempunkte gibt." Doch genau so war die Aufgabe Big Laugh

Big Laugh

29.09.2011, 16:06

Pi von Lyrelda

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achso^^ nun dann suchst du ein t für das gilt:

$\begin{eqnarray*} t \leq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$

was können wir daraus schließen?

29.09.2011, 16:12

Pjee

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Versteh ich jetzt nicht. Also ich meine:
Bei den Nullstellen gibt es nur eine Lösung wenn t < oder = 0 ist. Die Begründung hab ich ja schon genannt.
Bei den Hoch- und Tiefpunkten gilt: t > 0. Begründung:
Das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} f_{t}''(x) \end{eqnarray*}$ darf NICHT 0 sein. Sonst gibt es kein Hoch oder Tiefpunkt.
Und t muss größer sein als 0, weil man nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann.

29.09.2011, 16:16

Pi von Lyrelda

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ach mist stimmt ja t=0 darf ja auch nichts sein - sorry

nun dann gibt es eben KEIN t so dass das alles gleichzeitig funktioniert

29.09.2011, 16:18

Pjee

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Genau das hab ich mir auch gedacht. Entweder gibt es Hoch- und Tiefpunkte oder es gibt nur eine Nullstelle bzw. Nullstellen. Aber beides klappt nicht.

Man ich bin eigentlich gut in Mathe, aber diese Aufgabe verwirrt mich totallll Big Laugh

Big Laugh

Vielleicht liegt das daran dass ich krank bin.
Naja, vielen Dank euch beideeen !!!!!
Ist echt ein hammer Forum hier smile

smile

29.09.2011, 16:21

Pi von Lyrelda

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:-D dann kannst du ja auch mal Leuten helfen^^

Ja das Forum ist keine schlechte Idee Augenzwinkern

Augenzwinkern

Freude

Manchmal kommt es eben vor, dass man an etwas lange nachdenkt oder Probleme hat, wenn man krank ist sowieso

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