Gegenseitige Lage; bei Ebenen

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qOLDiiiii :) Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenseitige Lage; bei Ebenen
Hallo brauch Hilfe bei dieser Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebene E1 und E2





habe ein LGS aufgestellt:
r+s+0-2u= 1
0+s-t+0=3
0+0-t-u=-1

und folgende Gleichungen raus gefunden:



also ist t+ u = 1 und s+ u = 4 und r- 3u = -3

nun komme ich nur leider nicht mehr weiter ?!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ob deine Matrix nun stimmt kann ich dir ohne Rechenweg nicht sagen.
Das scheint ja nur das Ergebnis nach ein paar Umformungen zu sein.
Im Grunde brauchst genau null Umformungen um hier ans Ziel zu kommen.
Ich denke das Ziel ist dir auch gar nicht klar.
Dieses ist nämlich, entweder eine Beziehung zwischen r und s oder zwischen u und t zu erreichen.
Warum könnte genau das nämlich sinnvoll sein anstatt z.B. eine Beziehung zwischen s und u herzustellen ?
 
 
qOLDiiiii :) Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich unglücklich
Also das erste versteh ich nicht ganz?!

Ich brauche am Ende eine Geradengleichung g: x = ....

ja weil r & s in der ersten Ebenengleichung vorhanden sind und u& t in der anderen. Da ist es schon sinnvoll.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine erste Bemerkung war also

Zitat:
Ob deine Matrix nun stimmt kann ich dir ohne Rechenweg nicht sagen.


Was genau ist dir hier unklar ?

Zitat:
ja weil r & s in der ersten Ebenengleichung vorhanden sind und u& t in der anderen. Da ist es schon sinnvoll.


Jetzt ist nur die Frage warum das denn sinnvoll ist bzw was das zur Folge hat...
qOLDiiiii :) Auf diesen Beitrag antworten »

nein ich meinte das mit : ,, du brauchst null Umformungen um ans Ziel zu kommen´´?!
Steht das Ergebnis also schon da?!

Das ist sinnvoll weil ich ja ,,t in u ausgedrückt´´ oder ,,u in t ausgedrückt´´ dann wieder in die 2. Ebenengleichung einsetzen könnte oder??!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Steht das Ergebnis also schon da?!


Ergebnis würde ich das jetzt nicht nennen, aber eben die entscheidende Beziehung zwischen t und u steht in der Tat direkt schon in deinem ersten LGS.
Übrigens habe ich glaube ich dieselbe Aufgabe erst gestern mit einer Schülerin gerechnet, ich hab da gerade so ein Deja Vu. Augenzwinkern

Zitat:
Das ist sinnvoll weil ich ja ,,t in u ausgedrückt´´ oder ,,u in t ausgedrückt´´ dann wieder in die 2. Ebenengleichung einsetzen könnte oder??!


Das hast du gut gesagt, und was möchte man damit dann erreichen bzw was entsteht dadurch dann ?
qOLDiiiii :) Auf diesen Beitrag antworten »

Okey smile und wie gehe ich jetzt weiter vor um auf meine Schnittgerade zu kommen ?!

Oh, wirklich?! Ist ja auch eine echt blöde Nummer die Aufgabe hier!!! Augenzwinkern

Wie finde ich den Beitrag hier ?!

Das wäre gut wenn ich das schaffen würde weil ich dann ja nur noch eine Variable hätte und sich damit die Gleichung aufstellen lässt, oder?!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das wäre gut wenn ich das schaffen würde weil ich dann ja nur noch eine Variable hätte und sich damit die Gleichung aufstellen lässt, oder?!


Sagen wir statt Variable lieber Parameter und "genau ein Parameter" bedeutet damit dann was ? Also was würde damit dann vorliegen ?

Zitat:
Wie finde ich den Beitrag hier ?!


Achso ich meinte das auf meine Nachhilfeschülerin bezogen, der ich privat Nachhilfe gebe, also nicht hier im Forum. Augenzwinkern

Ich hoffe mal, dass dir klar ist, dass es um diese Gleichung hier geht:

Zitat:
0+0-t-u=-1


Nun stelle diese Gleichung doch z.B. mal nach u um und setze dann den Term für u in die Ebene E2 ein.
qOLDiiiii :) Auf diesen Beitrag antworten »

Dann liegt das vor mit dem ich weiter rechnene kann... ?! Also meine Geradengleichung verwirrt smile


so ganz verstanden hab ich das noch nicht, aber ist das so richtig?!

u= -1-t

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Na komm nochmal richtig nach u auflösen bitte. smile

Und danach mutipliziere nicht direkt alles komplett in den einen Vektor hinein sondern verwende das Distributivgesetz (ausmultiplizieren).
qOLDiiiii :) Auf diesen Beitrag antworten »

also doch u = 1-t ?!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
qOLDiiiii :) Auf diesen Beitrag antworten »

...hm wie ausmultipliziren?!

ich kann das doch nur in den Vektor rein multiplizieren?! Also (1-t) * o = o + (1-t) * t = 1-t usw ?!

Was soll ich jetzt wie multiplizieren?! geschockt geschockt unglücklich unglücklich
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Was hälst du denn hiervon:

qOLDiiiii :) Auf diesen Beitrag antworten »

Achso smile aber wenn man das dann wieder zusammenfasst ?! Dann habe ich ja das vom Anfang wieder ?!


Hää ?! unglücklich
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Fasse doch mal die ersten beiden Vektoren zu einem neuen Vektor zusammen.
Dasselbe dann für die beiden Vektoren mit dem t als Vorfaktor.

Ziel ist doch eine Gleichung der Form
qOLDiiiii :) Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, dann wäre das mein Ergebnis:

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Bin ich auf für. Wink

Zusatzfrage:

Kannst du dir auch vorstellen was passieren muss, damit eben keine Schnittgerade entsteht und somit die beiden Ebenen echt parallel oder identisch sind ?
qOLDiiiii :) Auf diesen Beitrag antworten »

Gut smile smile Danke für deine Hilfe!!!!!

Hm also wenn die beiden Ebenen parallel wären müssten die Normalenvektoren der beiden Ebenen linear abhängig sein und der Schnittwinkel muss null sein und sie haben keine gemeinsamen Punkte?!

Wenn die Ebenen identisch sind dann sind die Normalenvektoren der beiden Ebenen linear abhängig und jeder Punkt von E1 muss ja dann auch ein Punkt von E 2 sein.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schon richtig was du schreibst.
Jedoch haben wir es hier ja mit Parametergleichungen zu tun.
Natürlich kannst du beide Ebenen auch erst auf Koordinatenform bringen.
Möglich ist aber auch ein Deuten des aus dem Gleichsetzen der Parameterformen entstehenden LGS, um zu folgern wann zwei Ebenen nun parallel oder identisch sind.
qOLDiiiii :) Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so .. ja wenn das LGS z.B. : unendlich viele Lösungen hat, dann schneiden sich die Ebnen; und wenn sie parallel sind hat das LGS dann nur eine Lösung oder?!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber auch identische Ebenen hätten ja unendlich viele gemeinsame Punkte.
Die eine Frage ist wie man dann unterscheiden kann wann genau sich die Ebenen nun schneiden oder identisch sind.
Zueinander parallele Ebenen haben doch gar keine gemeinsamen Punkte und insofern passt das mit der "einen Lösung" von dir nicht.
Keine gemeinsamen Punkte bedeutet für das LGS ---> nicht lösbar
Und was muss da immer der Fall sein wenn ein LGS nicht lösbar ist ?
qOLDiiiii :) Auf diesen Beitrag antworten »

also wir haben das meistens mit Ebenengleichungen gemacht und wenn z.B am Ende dort stand : 0* t = 5 dann war es parallel und wenn dort stand: 0 = 0 dann waren sie identisch?!

Wenn das LGS nicht lösbar ist dann sind die Ebene also parallel ?! Und bei nur einer Lösung dann identisch oder wie?!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn das LGS nicht lösbar ist dann sind die Ebene also parallel ?!


Ja, denn nur dann gibt es keine Lösung, also keine gemeinsamen Punkte.
Und dann muss in der Tat sowas wie 0=1 oder 0=5 oder...entstehen, allgemein also eine falsche Aussage.

Zitat:
Und bei nur einer Lösung dann identisch oder wie?!


Nein, denn genau eine Lösung und identische Ebenen mit unendlich vielen gemeinsamen Punkten, das widerspricht sich doch.
Dein Vorschlag mit 0=0, also eine wahre Aussage, stimmt.
Denn das würde bei diesem LGS dazu führen, dass man niemals t und u bzw r und s in Beziehung setzen kann, wodurch keine Schnittgerade entstehen kann.
Man könnte auch sagen, dass die Lösungsmenge dann von zwei Parametern abhängt (die Lösungsmenge also eine Ebene bildet).
qOLDiiiii :) Auf diesen Beitrag antworten »

Okey smile ich hoffe ich habe alles soweit verstanden smile


Vielen Dank für die Mühe und die Hilfe Gott smile ... und entschuldigung weil ich nich alles gleich verstanden habe.


Gruß qoldi smile Wink Wink
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und entschuldigung weil ich nich alles gleich verstanden habe.


Um Gottes Willen, dafür brauchst du dich nicht entschuldigen. smile

Da du gut mitgearbeitet hast, dachte ich mir, dass ich ja dann ruhig noch etwas ausholen könnte, um das "Gesamtbild" für diese Thematik noch etwas zu vertiefen - sprich also den Zusammenhang LGS und Lage von Ebenen in diesem Fall.
Analoge Schlussfolgerungen kannst du nun auch für die Lage zweier Geraden oder die Lage von Gerade zu Ebene machen.

Vielleicht hilft es dir ja. Wink

Viel Erfolg weiterhin.
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