Integrale berechnen

29.09.2011, 20:09

misaki

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Integrale berechnen

Edit (mY+): Bitte KEINE Hilfeersuchen ("brauche wieder integral-hilfe") im Titel platzieren! Dies ist vollkommen unnötig und unschön und wird entfernt.

Hallo!
Ich hab mal wieder einige Integrale zu lösen, bei denen ich nicht recht weiß, wo ich ansetzen soll.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{6x^2+4}{x^3+2x+1} \, dx \end{eqnarray*}$
Beim ersten weiß ich gar nicht mal richtig, wie anfangen. Würde im Nenner x^2 stehen wärs leichter, aber so? Herausheben fällt mir nix ein und Nullstellen vom Nenner finde ich keine ganzzahligen. Irgendwelche Tipps??

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \! e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$
Hier wollte ich mit partieller Integration anfangen, aber egal wie ich die beiden Formel setze, ich weiß einfach nicht weiter. Substituieren vorher habe ich auch schon überlegt, aber es kann doch nicht sinnvoll sein, wenn ich den cos durch ne Wurzel umschreiben muss?

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^6+x^4+x}{x^4-1} \, dx \end{eqnarray*}$
Das soll ich unbedingt mit Partialbruchzerlegung machen, was ich auch für sinnvoll erachte, da Nullstellen des Nenners gefunden werden können. Jedoch bin ich mir unsicher was ihre Vielfachheit betrifft, denn einerseits könnte man meinen dass 1 und -1 jeweils doppelt vorkommen, andererseits komme ich durch Polynomdivision dann später auch auf komplexe Nullstellen. Wie erhalte ich da Sicherheit? Und was mache ich eigentlich mit dem x^6, denn bei späterem Koeffizientenvergleich werde ich wohl auf keine so hohe Potenz kommen. Ist das dann einfach hinfällig?

Freue mich schon auf Antworten/Tipps Big Laugh

Big Laugh

Liebe Grüße

29.09.2011, 20:22

original

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RE: brauche wieder spezielle integral-hilfe
der Reihe nach:

nimm beim ersten den Faktor 2 vor das Integral

und vergleiche dann die Ableitung des Nenners mit dem neuen Zähler..
bringt dich das weiter?

29.09.2011, 21:39

misaki

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Eigentlich nicht? XD Gibts da denn irgendeinen Kniff oder wie?!

29.09.2011, 21:45

original

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-
nix "Kniff " - Standardwissen :
schau mal in deiner Formelsammlung nach..
oder google mit "logarithmische integration"

zB:
http://de.wikipedia.org/wiki/Integration...che_Integration

ok?

29.09.2011, 21:49

misaki

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ooooh okay, das ist dann ja doch sehr einfach. danke für die hilfe! Freude

Freude

29.09.2011, 22:01

original

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ok - wie sieht denn nun dein Ergebnis für das bestimmte Integral aus?

und nun zum zweiten Problemchen:

bestimmt weisst du, wie vorzugehen ist bei "Integration durch Substitution"?

also substituiere z= sin(x)
...

aber Achtung: nachher,
bei deinem bestimmten Integral sitzt dann der Teufel in den Grenzen..
(und in dem , was dazwischen so passiert..)
-

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29.09.2011, 22:06

misaki

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Zitat:

Original von original
ok - wie sieht denn nun dein Ergebnis für das bestimmte Integral aus?

2,7726?

Zitat:

Original von original
und nun zum zweiten Problemchen:

bestimmt weisst du, wie vorzugehen ist bei "Integration durch Substitution"?

also substituiere z= sin(x)
...

aber Achtung: nachher,
bei deinem bestimmten Integral sitzt dann der Teufel in den Grenzen..
(und in dem , was dazwischen so passiert..)

gott ich frag mich grad wie ich so dämlich sein konnte um nicht zu sehen dass sich das cos x dann wegkürzt Hammer

Hammer

danke nochmal für den tipp. bei den grenzen muss ich dann wohl aufpassen was nullstellen von e^sinx betrifft, richtig? und dann von nullstelle zu nullstelle die fläche ausrechnen und am ende zusammenzählen.

29.09.2011, 22:21

original

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-
2,7726?

Ein Antwortsatz sieht anders aus.. smile

smile

2,7726?

ln(16) sieht schöner aus ..

"bei den grenzen muss ich dann wohl aufpassen was nullstellen von e^sinx betrifft"

jein.. e^sinx nullt nicht ... aber (e^sinx)*cos(x) vielleicht ??

und je nachdem:
heisst die Aufgabe
- du sollst die von f und der x-Achse begrenzte Flächenmasszahl berechnen,
oder
- du sollst nur eben den Wert des notierten bestimmten Integrals ermitteln ..

also?

29.09.2011, 22:43

misaki

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wie kommt man eigentlich von 2*ln(4) auf ln(16)? Das ist mir noch nicht so ganz klar Big Laugh

Big Laugh

Die Aufgabe heißt ich soll das Integral bestimmen, also es steht nix von Fläche. Aber ich dachte immer die Fläche unter der Kurve begrenz von x = a und x = b IST das bestimmte Integral? Da gibts doch keine Unterschiede?

Naja jedenfalls habe ich ja dann in pi/2 eine Nullstelle meiner Funktion f, sodass ich dsa bestimmte integral von pi - pi/2 und dann noch von pi/2 bis 0 rechnen muss, oder?

29.09.2011, 23:04

original

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"nicht so ganz klar"

? ..aber es gibt doch die schönen, allgemein bekannten Log-Gesetze? zB n*log(a) = log( a^n ) ..und so..

"Da gibts doch keine Unterschiede?"
oh doch - die gibt es:
wenn du über die Nullstellen "hinwegintegrierst" liefert das bestimmte Integral
die Flächendifferenz..

das kannst du bei dem vorliegenden Beispiel ausnutzen:
du wirst nämlich dies bekommen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \! e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

das bedeutet, dass die beiden Flächenstücke von 0 bis pi/2 und von pi/2 bis pi
sich nur in der Orientierung unterscheiden
dh, wenn du die Summe der Flächenmasszahlen haben willst
genügt es , das Integral von 0 bis pi/2 zu berechnen ..
verdopple dann dessen Betrag und du hast die Gesamtfläche zwischen f und der
x-Achse (im Intervall von 0 bis pi )

ok?

30.09.2011, 11:21

misaki

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Zitat:

Original von original
"nicht so ganz klar"

? ..aber es gibt doch die schönen, allgemein bekannten Log-Gesetze? zB n*log(a) = log( a^n ) ..und so..

hm, das kannte ich noch nicht, nur die mit - und + smile

smile

Danke!

Zitat:

Original von original
"Da gibts doch keine Unterschiede?"
oh doch - die gibt es:
wenn du über die Nullstellen "hinwegintegrierst" liefert das bestimmte Integral
die Flächendifferenz..

das kannst du bei dem vorliegenden Beispiel ausnutzen:
du wirst nämlich dies bekommen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \! e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

das bedeutet, dass die beiden Flächenstücke von 0 bis pi/2 und von pi/2 bis pi
sich nur in der Orientierung unterscheiden
dh, wenn du die Summe der Flächenmasszahlen haben willst
genügt es , das Integral von 0 bis pi/2 zu berechnen ..
verdopple dann dessen Betrag und du hast die Gesamtfläche zwischen f und der
x-Achse (im Intervall von 0 bis pi )
ok?

Okay, alles klar. Danke! Ich geb dann einfach sowohl die Fläche als auch das bestimmte Integral bei der Antwort an.

Für die dritte Aufgabe habe ich mir mittlerweile wieder in Erinnerung gerufen, dass ich zuvor Polynomdivison machen muss, wenn der Grad im Zähler höher dem Grad im Nenner ist. Dann komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \int \! x^2 + 1 + \frac{x^2 + x + 1}{x^4 - 1} \, dx \end{eqnarray*}$

Trotzdem weiß ich leider noch immer nicht wie ich auf die richtigen Nullstellen/Vielfachheit der Nullstellen komme.

30.09.2011, 11:26

klarsoweit

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Du brauchst doch nur die Nullstellen vom Nenner und das ist in diesem Fall kein Problem. Im Zweifelsfall auch mal an die 3. binomische Formel denken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.09.2011, 11:54

misaki

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Dann habe ich als Nullstellen nur (x^2+1) und (x^2-1)???

edit: muss ich dann aber die nullstellen +1 und -1 auch beachten?! Wie ist das denn?

Das ist ja einfacher als gedacht. Ich hab ja angefangen mit +1 kann eine Nullstelle sein und -1 nur weiß ich die Vielfachheit nicht ... Mit Polynomdivision bin ich dann auf weitere komplexe Nullstellen gekommen Big Laugh

Big Laugh

30.09.2011, 12:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von misaki
Dann habe ich als Nullstellen nur (x^2+1) und (x^2-1)???

Nun ja, das sind keine Nullstellen, sondern eine erste Zerlegung des Polynoms. Das x² - 1 sieht dabei noch sehr nach 3. binomischer Formel aus.

Prinzipiell sind deine Nullstellen richtig. Generell kannst du auf die Bestimmung komplexer Nullstellen verzichten, wenn du eine Zerlegung in Linearfaktoren oder quadratische Polynome ohne reelle Nullstellen hast.

30.09.2011, 12:22

original

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-
Dann komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 + x + 1}{x^4 - 1} \end{eqnarray*}$
ja und mit Klartext geht es jetzt mit Partialbruchterlegung weiter
und die drei Brüche die du dazu findest, haben - wie du schon gesehen hast - die Nenner
(x^2 +1) ; (x+1) und (x-1)

also dann: $\begin{eqnarray*} \frac{x^2 + x + 1}{x^4 - 1} = ? \end{eqnarray*}$

-

30.09.2011, 13:45

misaki

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Naja wenn ich dann mit dem Nenner multipliziere erhalte ich dann ja:

$\begin{eqnarray*} x^2+x+1 = Ax^2-A + Bx^3-Bx^2+Bx-B+Cx^3+Cx^2+Cx+C \end{eqnarray*}$

und die vier gleichungen

I: 0 = B + C
II: 1 = A - B + C
III: 1 = B + C
IV: 1 = -A - B + C

aus der ersten Gleichung folgt B = C, also sind sowohl B als auch C 1/2 (aus der III. Gleichung).

Dann habe ich aber in der zweiten Gleichung 1 = A und in der dritten Gleichung 1 = -A. Da kann doch irgendwas nicht stimmen?

30.09.2011, 13:52

René Gruber

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Es wäre schön gewesen, wenn du zunächst mal den PBZ-Ansatz aufgeschrieben hättest, statt gleich das Ergebnis der Umformungen hinzuknallen. Nach Rekonstruktion scheint dieser Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+x+1}{x^4-1} = \frac{A}{x^2+1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-1} \end{eqnarray*}$

gewesen zu sein - womit der Fehler sofort klar ist: Im ersten Summanden mit quadratischem Nenner gehört in den Zähler ein linearer Ansatz, nicht nur die Konstante $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ !!! Also

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+x+1}{x^4-1} = \frac{A+Dx}{x^2+1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-1} \end{eqnarray*}$ .

30.09.2011, 14:23

misaki

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Ach, stimmt ja, das hab ich vergessen. Danke!!!! Freude

Freude

Ich erhalte also

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{3} + x - \frac{\ln(x^2+1)}{4} - \frac{\ln(x+1)}{4} + \frac{3\ln(x-1)}{4} \end{eqnarray*}$

30.09.2011, 14:34

klarsoweit

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Hmm. Welche Werte hast du denn für A und D?

30.09.2011, 15:36

misaki

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Wenn ich A + Dx habe ist A = 0 und D = -1/2.

Wenn ich das Integral in den Mathetools eingebe kommt das Selbe raus. Wenn das richtig programmiert ist, müsste es stimmen :P

30.09.2011, 15:48

klarsoweit

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Hmm. Wenn ich das richtig verstehe, hast du die Zerlegung
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+x+1}{x^4-1} = \frac{-0,5x}{x^2+1} - \frac{0,25}{x+1} + \frac{0,75}{x-1} \end{eqnarray*}$

Schauen wir mal:

Das sieht aber nicht gleich aus.

EDIT: jetzt aber, nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil, Hammer

Hammer

sorry

traurig

30.09.2011, 15:53

René Gruber

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@klarsoweit

In deinem Plot sollte statt 0.75*(x-1) doch besser 0.75/(x-1) stehen.

30.09.2011, 16:05

klarsoweit

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Danke René. Ja so schnell verirrt sich ein Faktor aus dem Nenner in den Zähler. geschockt

geschockt

30.09.2011, 19:21

misaki

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Ich hab nun noch ein weiteres Integral.

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^3+x^2+x}{x^4+2x^2+1} f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Den Nenner kann ich dieses Mal auch wieder recht einfach in $\begin{eqnarray*} (x^2+1)^2 \end{eqnarray*}$ umschreiben und erhalte dann für meine Nenner der partiellen Integration einmal $\begin{eqnarray*} (x^2+1)^2 \end{eqnarray*}$ und einmal nur $\begin{eqnarray*} (x^2+1) \end{eqnarray*}$ oder? So ist das zumindest bei doppelten Nullstellen.
Aber was kommt dann in den Zähler? Brauche ich für den ersten Bruch, der im Nenner ja vierten Grades ist, dann im Zähler wirklich Ax^3+Bx^2+Cx+D? Bitte hier mal kurz um Auskunft smile

smile

30.09.2011, 20:17

René Gruber

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Der Ansatz lautet hier $\begin{eqnarray*} \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ , bei der Integration des Anteils $\begin{eqnarray*} \frac{D}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$ könnte das hier helfen.

30.09.2011, 20:21

misaki

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Wählt man denn im Zähler immer lineare Faktoren, unabhängig davon, was noch im Nenner steht? Würd mich mal interessieren.

Ja auf die Integration freu ich mich schon :P Werd mir das dann anschauen, wenn ich soweit bin.

30.09.2011, 20:25

René Gruber

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Zitat:

Original von misaki
Wählt man denn im Zähler immer lineare Faktoren, unabhängig davon, was noch im Nenner steht?

Nur bei den "quadratischen Nennern" (d.h. denen mit komplexen Nullstellen), egal in welcher Potenz dieser quadratische Nenner steht.

Bei den "einfachen, linearen" Nenner (d.h. von den reellen Nullstellen) genügt eine Konstante im Zähler.

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