Wie lautet folgende Regel der Analysis?

29.09.2011, 20:51	FloMitFrage	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lautet folgende Regel der Analysis? Meine Frage: Guten Tag, folgende Regel liegt mir vor und ich würde gern herausfinden, woher sie stammt bzw. wie sie heißt und von welchem Mathematiker. $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(x) \, dx = \left[\sum\limits_{k=1}^\infty \left(-1\right)^{k-1} \frac{x^{k}}{k!}f^{(k-1)} \left(x\right) \right]_{a}^{b} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Vielen Dank!
30.09.2011, 10:46	Scien	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist die Taylorreihe der Funktion integriert. Woher das (-1)^k stammt sehe ich gerdae nicht..
30.09.2011, 11:12	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie lautet folgende Regel der Analysis? Außerdem müßte es $\begin{eqnarray} f^{(k-1)} \left(x_0\right) \end{eqnarray}$ heißen, wenn man den Entwicklungspunkt Null nimmt.
30.09.2011, 13:23	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Es besteht zwar bei oberflächlichem Blick strukturell Verwechslungsgefahr zu Taylor, aber ich denke, es handelt sich um was anderes, ich würde es mal "iterierte" partielle Integration nennen (vielleicht gibt es dafür einen besonderen Namen, aber ich kenne ihn nicht), in der endlichen Variante zunächst $\begin{eqnarray} \int\limits_a^b f(x) ~ \dd x = \left[ \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k-1} \cdot \frac{x^k}{k!} \cdot f^{(k-1)}(x) \right]_a^b + (-1)^n \int\limits_a^b \frac{x^n}{n!} f^{(n)}(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ . Mit geeigneten Forderungen an f, so dass das "Restintegral" für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ verschwindet, gilt dann auch die von FloMitFrage genannte Formel.

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