Integral

27.06.2004, 21:04	Joshi04	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Hiho. Ich versuche folgendes Integral zu lösen. Irgendwo muss mir ein Fehler unterlaufen sein, denn mein Taschenrechner gibt ein anderes Ergebnis aus: $\begin{align} \Bigint{(cos(tan(x)+x^2))\cdot (1+tan^2(x)+2\cdot x)\cdot dx} \end{align}$ Meine Idee - ich substituiere $\begin{align} u=cos(tan(x)+x^2) \end{align}$ Dann ist: $\begin{align} \frac{d}{dx}\(cos(tan(x)+x^2)\)=-(\frac{1}{cos^2(x)}+2\cdot x)\cdot sin(tan(x)+x^2) \end{align}$ Also: $\begin{align} \Bigint{u\cdot (1+tan^2(x)+2\cdot x)\cdot\frac{du}{-\(\frac{1}{cos^2(x)}+2\cdot x\)\cdot sin(tan(x)+x^2)} \end{align}$ $\begin{align} =-\Bigint{u\cdot (1+tan^2(x)+2\cdot x)\cdot\frac{du}{\(\frac{1}{cos^2(x)}+2\cdot x\)\cdot sin(tan(x)+x^2)} \end{align}$ Nun eine kleine Umformung: $\begin{align} tan=\frac{a}{b}\ \Rightarrow \ tan^2=\frac{a^2}{b^2} \end{align}$ $\begin{align} \Rightarrow 1+tan=1+\frac{a^2}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2} \end{align}$ $\begin{align} cos=\frac{b}{c}\ \Rightarrow\ cos=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align}$ $\begin{align} \Rightarrow \frac{1}{cos^2(x)}=\frac{1}{\(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)^2} \end{align}$ $\begin{align} =\frac{a^2+b^2}{b^2} \end{align}$ $\begin{align} 1+tan^2=\frac{a^2+b^2}{b^2} \end{align}$ $\begin{align} \frac{1}{cos^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2} \end{align}$ $\begin{align} \Rightarrow 1+tan^2=\frac{1}{cos^2} \end{align}$ Daraus folgt: $\begin{align} -\Bigint{u\cdot (1+tan^2(x)+2\cdot x)\cdot\frac{du}{-\(1+tan^2(x)+2\cdot x\)\cdot sin(tan(x)+x^2)} \end{align}$ $\begin{align} =-\Bigint{\frac{u}{sin(tan(x)+x^2)}\cdot du} \end{align}$ Nun,da: $\begin{align} 1=cos^2+sin^2 \end{align}$ $\begin{align} \Rightarrow sin=\sqrt{1-cos^2} \end{align}$ Kann ich $\begin{align} sin(tan(x)+x^2) \end{align}$ auch als $\begin{align} \sqrt{1-u^2} \end{align}$ schreiben. Daraus folgt: $\begin{align} -\Bigint{\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\cdot du} \end{align}$ Nun integriere ich partiell: $\begin{align} =-\(u\cdot sin^{-1}(u)-\int{sin^{-1}(u)\cdot du}\) \end{align}$ $\begin{align} =-\(u\cdot sin^{-1}{u}-u\cdot sin^{-1}(u)-\sqrt{1-u^2}\) \end{align}$ $\begin{align} =\sqrt{1-u^2} \end{align}$ Nun fehlt nur noch die Rücksubstitution. ICh denke aber, dass bis hier irgendwo ein Fehler sein muss. Wär nett ,wenn einer mal nen Blick drauf werfen könnt. Gruß Hanno
27.06.2004, 21:22	Joshi04	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe gerade, dass ich mir das Leben einfacher hätte machen können, indem ich $\begin{align} tan(x)+x^2 \end{align}$ substituiert hätte. Doch trotzdem sehe ich meinen Fehler in dfer obigen Rechnung nicht.
27.06.2004, 21:22	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Substituiere doch lieber z=tan(x)+x^2 dann ist das ganze im Kopf lösbar, du musst nur (tan(x))'=1+tan(x)^2, bzw 1/cos(x)^2=1+tan(x)^2 (daraus folgt das nämlich) beachten.
27.06.2004, 21:24	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Fehler, außer, dass du eine Fallunterscheidung unterschlagen hast, die am Ende aber egal ist. Wenn du hier den Term für u einsetzt, kommst du wegen sin(x)^2=1-cos(x)^2 auf das richtige Ergebnis sin(tan(x)+x^2)
27.06.2004, 21:25	Joshi04	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm. Ok danke
27.06.2004, 21:28	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe die Rechnung jetzt nicht explizit Schritt für Schritt überprüft, aber das Ergebnis stimmt.
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27.06.2004, 22:13	Joshi04	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rechnung bin ich selber schon oft durchgegangen, wenn das Endergebnis stimmt, dann denk ich auch, dass das so korrekt ist. Hab vielen Dank Phillip!
28.06.2004, 13:09	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Joshi!!! schimpf Die Aufgabe war zum selber Lösen gedacht! Uns hat es gestern den Rechner zerlegt durch einen Stromausfall während eines Gewitters. Hast es nicht abwarten können, was?

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