Wann spannen vektoren einen Raum auf?

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susi127 Auf diesen Beitrag antworten »
Wann spannen vektoren einen Raum auf?
Meine Frage:
Ich weiß nicht weiter, ich weiß wie Vektoren im ein, zwei und dreidimensionalen Raum anschaulich aussehen aber wann spannen denn vektoren einen Raum auf, wie muss ich mir dass vorstellen und vorallem woran erkennt man an gegebenen Vektoren, dass sie einen Raum aufspannen (also zahlentechnisch woran sehe ich das?? bzw. WAS IST ZU RECHNEN um zu wissen ob oder ob nicht????

Meine Ideen:
ich weiß wann vektoren linear abhängig und unabhängig sind und wonach sich ein Untervektorraum definiert aber kann ich daran erkennen ob ein Raum aufgespüannt wird???
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ausdruck gewisse Vektoren spannen einen Raum ist umgangsprachlich für: diese Vektoren sind eine Basis (linear unabhängiges Erzeugendensystem) des Raumes.
Es wäre dann also zu zeigen, dass Deine Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt so nicht. Der Spann ist die Menge aller Linearkombinationen einer Teilmenge eines Vektorraums über einem Körper .
Wenn jetz z.B .
Dann ist
susi127 Auf diesen Beitrag antworten »

ok ok aber irgendwie fehlt mir voll der praktische Bezug, sei als beispiel mal folgende Aufgabe gegeben.
Überprüfen sie, ob die folgenden drei Vektoren einen Raum aufspannen:
(3,4,5), (7,5,3) und (9,8,7).

was mache ich nun um zu überprüfen ob sie das tun oder nicht??
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

War die Aufgabe so formuliert? Vektoren spannen immer einen Raum auf. Die Frage ist nur, ob sie den Raum vollständig aufspannen oder nur einen Teilraum.
susi127 Auf diesen Beitrag antworten »

Da haben wir den Beweis für mein Unwissen, die Frage war so nirgendwo formuliert...............gut .....dann kann ich zumindest davon ausgehen, dass ich diese Frage in der Prüfung nicht gestellt bekomme. Leider nur ändert dass an meinem fehlendem Verständnis für Algebra nix, dass ist alles so Konstrukt-lastig, ich kann mir unter all dem nichts vorstellen.............also drei Vektoren (durch den Nullpunkt zu einem Punkt in einem Koordinatensystem), die Endpunkte der Vektoren könnte man ja verbinden, dann würde man eine Fläche sehen, kann ich mir diese Fläche als Unterrraum denken??

@klarsoweir: Ich versuch mich daran jetzt schon ewig und halte bis jetzt auch durch, ich finds trotzdem schwer verwirrt
 
 
susi127 Auf diesen Beitrag antworten »

Bin gerade beim lernen über folgendes Beispiel gestolpert und kann es beim besten Willen nicht nachvollziehen:

Matrix A gegeben mit 1 2
2 4
laut Buch spannt der Spaltenraum dieser Matrix eine Gerade im R hoch 2 auf.

Matrix B gegeben mit 1 2 3
0 0 4

laut Buch spannt der Spaltenraum dieser Matrix den gesamten R hoch 2 auf.


?????woran erkenne ich das denn, klar ich sehe auf Anhieb, dass die Spalten der Matrix A sich als lineare Kombis darstellen lassen, die der Matrix B nicht aber wenn dass der einzige Anhaltspunkt wäre könnte man ja sagen, Spalten oder Vektoren die sich untereinander nicht darstellen lassen als Linearkombinationen spannen immer den gesamten entsprechenden Raum auf, ....das stimmt doch aber sicher nicht oder???
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Merk dir einfach, dass n linear unabhaengige (reelle) Vektoren den R^n aufspannen

Kann man sich im Fall n = 2 und n = 3 leicht veranschaulichen
susi127 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch allen für die Hilfe, habe es endlich soweit gecheckt, jetzt bin ich bis zum Begriff der Basis vorgedrungen und da heißt es: wenn ein Vektor in der linearen Hülle liegt, dann ist er eine Linearkombination dieser Vektoren.....is klar,
weiter heißt es, wenn diese Vektoren dann auch noch linear UNABHÄNGIG sind, dann bilden sie eine Basis des Vektorraumes .......????
Wie können denn linear unabhängige Vektoren Linearkombinationen voneinander sein?

Aaaah....ich glaube ich kopple hier verschiedene Zusammenhänge die nicht zwangsläufig etwas miteinander zu tun haben oder??... Die Linearkombination verschiedener Vektoren setzt wahrscheinlich nicht die leneare Abhängigkeit oder unabhängigkeit voraus, aber wenn ich mir so eine Basi im geometrischen Raum hoch drei aus drei Vektoren anschaue, dann ist doch offensichtlich dass ich die nicht als LK darstellen kann. (Gramlich seite 105)
Beispielsweise liegen im R hoch drei linear unabhängige Vektoren nicht in einer Ebene, wie will ich sie dann untereinander als LinearKombi darstellen???????
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Spielen wir das ganze einfach mal am durch.
Eine Basis ist.
Ein Erzeugendensystem ist z.B .
ist zwar linear unabhängig aber keine Basis des sondern eines 2 dimensionalen Unterraums des .

Der Span sind einfach alle möglichen Linearkombination der entsprechenden Mengen, völlig egal ob diese linear (un)abhängig sind.

Gruß
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dein letzter Beitrag ist in Ordnung. Und natürlich ist auch B ein Erzeugendensystem, und zwar des R³. smile
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