[Algebra - Bosch] Kapitel 6.1 Aufgabe 3: Bestimmung von Galois-Gruppe

30.09.2011, 14:24

gonnabphd

[Algebra - Bosch] Kapitel 6.1 Aufgabe 3: Bestimmung von Galois-Gruppe

Hiho,

Und weiter geht's in meinem Ringen mit der Algebra...

Dieses Mal würde ich gerne die Galois-Gruppe des folgenden Polynoms bestimmen:

$\begin{eqnarray*} p(X) = X^7 - 8X^5 - 4 X^4 + 2X^3 - 4X^2 + 2 \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$

Weiterhin soll entschieden werden, ob die Galois-Gruppe auflösbar ist oder nicht. (aber erstmal zur Galois-Gruppe)

Ja... Mithilfe des Eisenstein Kriteriums folgt mal sicher, dass das Polynom irreduzibel ist.

Dann hab ich mir mal von Wolfram die Wurzeln ausrechnen lassen:

[attach]21332[/attach]
[attach]21333[/attach]

Sind also alles andere als schön... Jedenfalls kann man sie von Hand nicht ausrechnen. Auf der anderen Seite kann man durch einsetzen von Werten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sehen, dass es mindestens 5 reelle Nullstellen geben muss. (Doch weiter komme ich an diesem Punkt nicht mehr. Vor allem habe ich keine Ahnung ob und wie man daraus die Galois-Gruppe bestimmen kann...)

Also habe ich mir überlegt, ob es Möglichkeiten gibt, die Galois-Gruppe zu bestimmen, ohne gross Information über die Wurzeln zu haben?

Ich bezeichne mit $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ den Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .
Was ich sehe: Es muss $\begin{eqnarray*} G = Gal(L/\mathbb Q) \subset S_7 \end{eqnarray*}$ transitiv auf den Wurzeln operieren, da f irreduzibel ist.
Das impliziert mit einem Satz aus dem Kapitel, dass es eine Untergruppe der Ordnung 7 in G gibt (weiss nicht, ob das hilft).
Aber auch hier gehen mir die Ideen an diesem Punkt schnell aus.

Edit (doch noch eine Idee): Eigentlich reicht es, auszuschliessen, dass alle Nullstellen von p(X) reell sind. Wenn das der Fall ist, dann gibt es genau 5 reelle und 2 komplex konjugierte komplexe Nullstellen. Damit hat dann die Galois-Gruppe ein Element der Ordnung 2 (Konjugation) und ein Element der Ordnung 7 (wegen der Transitivität der Operation). Daraus folgt jedoch schon, dass die Gruppe ganz $\begin{eqnarray*} S_7 \end{eqnarray*}$ sein muss, denn $\begin{eqnarray*} S_7 = \langle (1,2), \, (1,2,3,4,5,6,7)\rangle \end{eqnarray*}$ .

Ich überleg' mir dann mal, wie man zeigen kann, dass nicht alle Nullstellen reell sein können (ohne Wolfram).

Bisher habe ich einfach die Nullstellen jeweils berechnet und mir dann die Körpererweiterung Stück für Stück aufgebaut und so die Galois-Gruppe gefunden. Doch dieser Ansatz scheitert bei Polynomen, welche nicht gerade "zufällig" sehr einfach sind, natürlich kläglich.

Ich hoffe also auf ein bisschen Input von den Algebraikern, welche weniger naiven Ansätze in einer solchen Situation zum Ziel führen könnten?

Vielen Dank und Grüsse

smile

30.09.2011, 14:44

jester.

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Beispielsweise mit Mitteln der Differentialrechnung (wenn man auf Wolfram-Alpha verzichten möchte... Augenzwinkern

) kann man sehen, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ genau 5 reelle Nullstellen hat. Mit anderen Worten: es gibt genau zwei komplexe Nullstellen. Diese treten als komplex-konjugiertes Paar auf.
Die komplexe Konjugation schränkt sich zu einem Element der Galoisgruppe ein, sie entspricht also in der $\begin{eqnarray*} S_7 \end{eqnarray*}$ einem 2-Zykel, ohne Einschränkung $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ .

Kombiniere dies mit

Zitat:

Das impliziert mit einem Satz aus dem Kapitel, dass es eine Untergruppe der Ordnung 7 in G gibt (weiss nicht, ob das hilft).

30.09.2011, 14:48

gonnabphd

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Genau die Idee kam mir gerade auch (war am editieren während du deine Antwort geschrieben hast). Vielen Dank trotzdem!

30.09.2011, 14:49

jester.

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30.09.2011, 15:26

gonnabphd

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Zitat:

Beispielsweise mit Mitteln der Differentialrechnung (wenn man auf Wolfram-Alpha verzichten möchte... Augenzwinkern ) kann man sehen, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ genau 5 reelle Nullstellen hat.

Siehst du vielleicht konkret, wie man das anstellen könnte? verwirrt

30.09.2011, 15:40

jester.

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Ok, nein, auf die Schnelle nicht. Da habe ich das mit dem Verzicht auf Wolfram Alpha wohl zu voreilig geschrieben. Big Laugh

Darüber kann man natürlich vortrefflich diskutieren. Einerseits finde ich es immer ganz nett, wenn man auf den Computer verzichten kann, aber andererseits wird diese Aufgabe unverhältnismäßig aufwändig, wenn man hier von Hand die Nullstellen untersucht.

30.09.2011, 15:51

gonnabphd

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Ja, du hast vermutlich Recht. Einen grossen Nutzen sehe ich eigentlich auch nicht in einer aufwendigen Untersuchung der Nullstellen.
(Gäbe es allerdings eine mir unbekannte Methode, das von Hand zu rechnen, dann wäre ich interessiert. Ich Frage mich insbesondere, ob man nicht vielleicht mit Hilfe von Mitteln aus der komplexen Analysis was hinbekommen könnte - so à la Rouché / Nullstellen zählende Integrale etc.)

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