Untersuchung einer Funktionsschar

30.09.2011, 16:04

Cosenk

Untersuchung einer Funktionsschar

Meine Frage:
Hallo zusammen,

zu untersuchen ist die Funktion f(x)= xe^-tx k >0

Meine Ideen:
Bei der Berechnung der Extremstellen habe ich mithilfe der Produktregel die 1.Ableitung gebildet:

f´(x) = 1*e^-tx + x*(-t)e^-tx

Da ich die 2.Ableitung später ebenfalls benötige, habe ich versucht die Ableitung zusammen zu fassen bzw. zu vereinfachen.
Leider stehe ich hierbei auf dem Schlauch.

Würde mich um jeden Tipp bzw. jede Hilfe freuen!

Vielen Dank im Voraus

30.09.2011, 16:08

Bjoern1982

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Ausklammern der e-Funktion ist hier das Stichwort.

30.09.2011, 21:28

cosenk

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f´(x) = 1*e^-tx + x*(-t)e^-tx | e^-tx ausklammern

= e^-tx(x*(-t)

So habe ich es schon bereits ausgeklammert.
Als ich dies aber mit dem GTR überprüfen wollte, kamen zwei unterschiedliche Graphen raus..

Fehler beim Ausklammern?

30.09.2011, 21:35

Bjoern1982

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Wenn du allein schon die Probe machst, also wieder ausmultiplizierst, kommt das ja nicht ganz hin
Wenn du bei deinem $\begin{eqnarray*} 1 \cdot e^{-t \cdot x} \end{eqnarray*}$ ausklammerst, dann bleibt da auch irgendwas übrig (und nicht null) Augenzwinkern

30.09.2011, 21:50

cosenk

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Wenn ich bei 1*e^-tx e^-tx ausklammere, bleibt doch lediglich die 1 über, die doch keinen großen Einfluss auf das Ergebnis hat oder?

Tut mir leid, aber stehe ausnahmsweise Mal aufm Schlauch :-S

30.09.2011, 21:59

Bjoern1982

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Bedenke, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} a \cdot b+a \cdot c=a \cdot (b+c) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} a \cdot b+a \cdot c=a \cdot (b \cdot c) \end{eqnarray*}$

Insofern macht die 1 schon einen Unterschied. Augenzwinkern

30.09.2011, 22:05

cosenk

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Stimmt vollkommen! völlig vergessen -.-
Daraus ergibt sich also:

f´(x) = 1*e^-tx + x*(-t)e^-tx | e^-tx ausklammern

= e^-tx(1+x*(-t))

richtig?

Vielen Dank für den hilfreichen Tipp! smile

30.09.2011, 22:12

cosenk

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Möchte nochmal bei der 2.Ableitung sicher gehen. (Produktregel)

f´´(x) = -te^-tx * (1+x*(-t) + e^-tx *2 da -t wegfällt und x zu 1 wird

zusammenfassen: 3e^-tx(1+x*(-t))

Ist das so korrekt?

30.09.2011, 22:13

Bjoern1982

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Ja so stimmt es.
Etwas schöner noch geschrieben haben wir also das hier:

$\begin{eqnarray*} e^{- t \cdot x} \cdot (1-t \cdot x) \end{eqnarray*}$

30.09.2011, 22:15

cosenk

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f´(x) = e^-tx)1+x*(-t)

Quatsch, die 1 fällt ja auch weg d.h:

f´´(x) = -te^-tx*(1+x*(-t)) + e^-tx *1

?

30.09.2011, 22:19

Bjoern1982

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Nein das stimmt nicht.
Mal ganz langsam, wir haben:

$\begin{eqnarray*} u=e^{-t \cdot x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=1-t \cdot x \end{eqnarray*}$

Wie lauten nun u' und v' ?

30.09.2011, 22:26

cosenk

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also u´ wäre dann = -te^-tx

´v wäre dann = t, da 1 wegfällt und x zu 1 wird oder nicht?

30.09.2011, 22:34

Bjoern1982

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v' ist -t, ansonsten stimmts.

Nun nur noch gemäß der Produktregel zusammensetzen und da du spätestens bei den Wendestellen die Nullstellen der 2. Ableitung brauchst, würde ich auch hier wieder ausklammern, da ein Produkt bei der Nullstellensuche immer sehr gelegen kommt.

30.09.2011, 22:42

cosenk

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also u´ wäre dann = -te^-tx

´v wäre dann = t,

also gilt: f´´(x) = -te^-tx * (1-t*x) + e^-t*x * (-t) | ausklammern

= e^-tx (1-3t*x)

Habe irgendwie die Befürchtung, dass da wieder ein Fehler drin steckt -.-

30.09.2011, 23:01

Bjoern1982

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Ja beim Ausklammern hapert es noch ein wenig.
Beim 1. Summanden bleibt doch -t(1-tx) übrig und beim anderen nur -t.
Und das müsste jetzt nur noch addiert werden wegen a(b+c).

30.09.2011, 23:14

cosenk

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Ja, das stimmt. Beim Ausklammern hapert es wirklich..

habe jetzt ausgeklammert:

e^-tx(-t(1-tx) -t) = e^-tx(-t+2x-t)

Irgendein kleiner Fehler steckt da wieder drin.. man man man ey..

30.09.2011, 23:27

Bjoern1982

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2x ist verkehrt.
Man merkt, dass du ausklammern bzw ausmultiplizieren auch nicht wirklich kannst.
Deswegen empfehle ich dir das dringend nochmal zu wiederholen bzw aufzufrischen.
Sonst wird das nachher sehr unerfreulich wenn du an diesen Stellen Fehler machst, da du dann immer mit falschen Ergebnissen weiterrechnest.

Aber mit ein wenig Übung sollte das schon hinhauen. smile

30.09.2011, 23:32

cosenk

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Ja, werde ich auch auf jeden Fall machen, aber diese Aufgabe möchte ich auf jeden Fall noch beenden.

Also:
1.Summand: -t(1-tx) 2.Summand: -t

Diese beiden muss ich ja addieren, da a(b+c) gilt.

Beim 1.Summanden habe ich einfach ausmultipliziert

dann würde -t * 2tx rauskommen und t nochmal vom 1.Summanden abziehen

Verstehe nicht, was daran falsch ist verwirrt

30.09.2011, 23:40

Bjoern1982

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Zitat:

dann würde -t * 2tx rauskommen

Wie kommst du auf * ?
Und $\begin{eqnarray*} -t \cdot (-tx) \end{eqnarray*}$ ist nicht 2tx sondern...

30.09.2011, 23:50

cosenk

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-t(-tx) = t²+ (-tx) ?

30.09.2011, 23:55

Bjoern1982

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Mit + ist da auch nichts, da steht ein Produkt aus 3 Faktoren:

$\begin{eqnarray*} (-t) \cdot (-t) \cdot x \end{eqnarray*}$

30.09.2011, 23:59

cosenk

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ja dann t² * x , aber das stimmt irgendwie auch nicht...

Hammer

01.10.2011, 00:04

Bjoern1982

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Doch das stimmt. Augenzwinkern

Ich fasse also zusammen:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=e^{-t \cdot x} \cdot (t^2 \cdot x-2 \cdot t) \end{eqnarray*}$

01.10.2011, 00:07

cosenk

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Stimmt..

Vielen vielen Dank für die Geduld und Hilfe Wink

01.10.2011, 00:09

Bjoern1982

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Gern geschehen.
Kannst ja morgen oder wann auch immer ruhig weiter deine Ergebnisse zu der noch anstehenden Kurvendiskussion posten. Wink

01.10.2011, 00:12

cosenk

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Mache ich.
Danke, sehr nett smile

Eine gute Nacht wünsche ich smile

04.10.2011, 15:40

cosenk

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Hallo Bjoern,

mit der Kurvendiskussion der letzten Funktion bin ich gut zurechtgekommen.

Nun habe ich eine kleine Frage zu einer anderen Funktion.

f(x) = x^2 * e^kx

f´(x) = 2xe^kx + x^2 *(k)e^kx

= e^kx(2x+x2*k)

f´´(x) = k * e^kx (2x+x^2 * k) + e^kx(2+2x) | e^kx ausklammern

= e^kx (k(2x+x^2*k) *(2+2x)

Beim Zusammenfassen bzw. das Ergebnis ist am Ende falsch.
Muss es vielleicht "+ (2+2x)" sein, bin mir nicht so sicher.. verwirrt

04.10.2011, 16:23

Bjoern1982

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Hallo cosenk,

die 1. Ableitung sieht gut aus, ich schreibs nur nochmal sauber mit Formeleditor hin:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{k \cdot x} \cdot (2x+k \cdot x^2) \end{eqnarray*}$

Bei der 2. Ableitung stimmt die (Teil)Ableitung von kx² nicht, nicht 2x sondern ?

04.10.2011, 16:33

cosenk

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2xk? aber für k steht ja normalerweise eine Zahl, die ja beim Ableiten wegfällt!?

04.10.2011, 16:38

Bjoern1982

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2xk bzw 2kx ist richtig.
Bedenke dass k hier ja nicht alleine als Summand steht sondern als Faktor.
Wenn da 4x² stehen würde, dann würde man ja auch durch 2*4*x ableiten. Augenzwinkern

04.10.2011, 16:46

cosenk

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Stimmt, ist mir eben gerade auch aufgefallen :-)

d.h also:

f´´(x) = k * e^kx (2x+x^2 * k) + e^kx(2+2kx) | e^kx ausklammern

= e^kx (k(2x+x^2*k) *(2+2kx)

Hier war ich mir nicht sicher, ob zwischen der ersten und zweiten Klammer ein Mal oder Plus-Zeichen steht..

Ist es richtig, wenn ich z.B k mit dem Produkt aus dem 1.Faktor der 1.Klammer und dem 1.Faktor der 2.Klammer multipliziere?

04.10.2011, 16:55

Bjoern1982

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Achso das hatte ich übersehen, da gehört ein Pluszeichen hin.
Denk (auch für deine andere Frage) immer an ab+ac=a(b+c)

04.10.2011, 17:02

cosenk

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d.h also:

f´´(x) = k * e^kx (2x+x^2 * k) + e^kx(2+2kx) | e^kx ausklammern

= e^kx (k(2x+x^2*k) + (2+2kx)

!? smile

04.10.2011, 17:09

Bjoern1982

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Eine Klammer müsste noch zu am Ende aber sonst stimmt es.
Dieses k(2x+kx²)+2+2kx könntest du auch noch zusammenfassen, also auf die Form ax²+bx+c bringen.

04.10.2011, 17:16

cosenk

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Eine Klammer müsste noch zu am Ende aber sonst stimmt es.
Dieses k(2x+kx²)+2+2kx könntest du auch noch zusammenfassen, also auf die Form ax²+bx+c bringen.

habe ausmultipliziert + zusammengefasst:

k(2x+kx²)+2+2kx = k²x² + 4kx + 2

04.10.2011, 17:19

Bjoern1982

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Prima, denn damit hast du es dann schon mundgerecht für eventuelle Wendestellenbestimmungen. smile

04.10.2011, 17:22

cosenk

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Du solltest Lehrer werden, falls du es noch nicht bist! Big Laugh

Werde jetzt die Extrem- und Wendestellen bestimmen.
Kann ich die dann zur Kontrolle posten!?

04.10.2011, 17:32

Bjoern1982

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Zitat:

Kann ich die dann zur Kontrolle posten!?

Selbstverständlich. Wink

04.10.2011, 17:56

cosenk

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Zunächst habe ich die Nullstellen bestimmt:

f(x) = 0

x² * e^kx = 0 --> x=0 , da wenn x 0 ist das Produkt 0 ist. N(0|0)

Schnittstelle mit der y-Achse:

f(0) = 0² * e^k*0 = 0 --> S(0|0)

Extremstellen:

notwendige Bedingung: f´(x) = 0
hinreichende Bedingung: f´´(x) ungleich 0, f´´(x) > 0 --> Minimum
f´´(x) < 0 --> Maximum

e^kx (2x+x^2*k) = 0 | : e^kx

2x+x^2 * k = 0 | x ausklammern

x(2+x*k) --> x1= 0 = 0

2+x*k = 0 | -2 ; :k

x2 = -2/k

Prüfen der hinreichenden Bedingung:

f´´(0) = e^k*0(k²*0²+4*0+2) = e^0 bzw. 1*(0+0+2) = 2 --> Minimum
4
f´´(-2/k) = e^k*-2/k (k²*(-2)/k)² + 4*(-2/k) + 2

= e^-2 (4+(-8/k) + 2 --> erfüllt (eher unsicher)

y-Koordinate der Extremstelle bestimmen:

f(0) = 0² * ke^k*0 = 0 --> Min(0|0)

bei -2/k bin ich mir unsicher. Deswegen lass ich es erstmal

Wendestellen:

f´´(x) = 0

e^kx( k²x² + 4x+2) = 0 |:e^kx

k²x²+4x+2 = 0 | -2

k²x²+4x = -2 | x ausklammern

x(k²*x+4) --> x1=0

k²x+4 = -2 | -4 ; :k²

x = -6/k²

Ist das soweit richtig?

04.10.2011, 20:10

cosenk

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Zitat:

Original von cosenk

bei -2/k bin ich mir unsicher. Deswegen lass ich es erstmal

Wendestellen:

f´´(x) = 0

e^kx( k²x² + 4x+2) = 0 |:e^kx

k²x²+4x+2 = 0 | -2

k²x²+4x = -2 | x ausklammern

x(k²*x+4) --> x1=0

k²x+4 = -2 | -4 ; :k²

x = -6/k²

Ist das soweit richtig?

Ich korrigiere:

Für die Extremstellen habe ich:

Minimum(0|0)
Maximum(-2/k | 4/k²e^-2)

Bei der Wendestelleberechnung habe ich einen Fehler gemacht:

e^kx( k²x² + 4kx+2) = 0 |:e^kx

k²x²+4kx+2 = 0 | -2

k²x²+4kx = -2 | x ausklammern

x(k²*x+4) --> x1=0

k²x+4k = -2 | :k²

x+4k = -2/k²-4k

Habe dies mit dem GTR überprüft. Scheint bei der Wendestelle nicht zu stimmen..

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