Untersuchung einer Funktionsschar - Seite 3

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05.10.2011, 18:49	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach quatsch, was rede ich da.. bei der Extremstellenberechnung gabs keine Probleme für die x-Koordinate habe ich 0 raus. Habe versucht die 2.Ableitung zu bilden, bin bis hierhin gelangt: f ´´(x) = $\begin{eqnarray} -2ae^{-ax^2}+(-2)ax * (-2)axe^{-ax^2} \end{eqnarray}$ Scheint jedoch nicht zu stimmen
05.10.2011, 19:30	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann jetzt halt noch ausklammern und zusammenfassen, aber soweit stimmt es doch.
05.10.2011, 19:32	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{-ax^2} ( -2a+(-4)a^2x^2) \end{eqnarray}$ ?
05.10.2011, 19:37	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast, (-2)*(-2)=...
05.10.2011, 19:39	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
+4 statt -4.
05.10.2011, 19:41	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.
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05.10.2011, 19:46	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze ich 0 in die 2.Ableitung ein, erhalte ich -2a. Und da in a > 0 in dieser Aufgabe gilt, ist dies ein Maximum. Als Maximum erhalte ich (0\|1)
05.10.2011, 19:48	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »

05.10.2011, 19:53	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
Wendestellen: NB: f´´(x) = 0 $\begin{eqnarray} e^{-ax^2}(-2a+4a^2x^2) = 0 \| : e^{-ax^2}, da e^x nie null wird \end{eqnarray}$ [latex] [latex]-2a + 4a^2x^2 = 0 \| -2a [latex] [latex] 4a^2x^2 = 0 \| :4a^2 ; \sqrt{x} [latex] ?
05.10.2011, 19:55	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal in sauberer Form: Wendestellen: NB: f´´(x) = 0 $\begin{eqnarray} e^{-ax^2}(-2a+4a^2x^2) = 0 \| : e^{-ax^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2a + 4a^2x^2 = 0 \| -2a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4a^2x^2 = -2a \| :4a^2 ; \sqrt{x} \end{eqnarray}$ ?
05.10.2011, 19:58	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Statt -2a lieber +2a Was erhälst du somit für x ?
05.10.2011, 20:10	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, mein ich ja $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{2a}{4a^2} } = \sqrt{\frac{a}{2a^2} } \end{eqnarray}$ wobei ich a hier auch kürzen kann, hmm..
05.10.2011, 20:24	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau ein a kannst noch wegkürzen. Und denk daran, dass es zwei Lösungen gibt.
05.10.2011, 20:28	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
d.h $\begin{eqnarray} x1 = \sqrt{\frac{1}{2a} } x2= -\sqrt{\frac{1}{2a} } \end{eqnarray}$
05.10.2011, 20:29	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
So siehts aus, oder noch kürzer: $\begin{eqnarray} x_1=\frac{1}{\sqrt{2a}} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x_2=-\frac{1}{\sqrt{2a}} \end{eqnarray}$
05.10.2011, 20:32	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
und das ist dasselbe wie $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{0,5}{a} } \end{eqnarray}$ hat uns unsere Lehrerin nämlich schon im Voraus gesagt
05.10.2011, 20:39	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht zwar eher nich so schön aus mit der Kommazahl unter einer Wurzel aber is natürlich dasselbe, ja.
05.10.2011, 20:49	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun steht hier, dass der Schnittpunkt Sa von f(x) und f´(x) bei x = -0,25 liegt. Bestimmen soll man einen passenden Wert für a Habe gedacht, dass man folgendes aufschreibt: $\begin{eqnarray} e^{-ax^2}-(-2axe^{-ax^2}) = -0,25 \end{eqnarray*}$
05.10.2011, 21:00	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Denk dran, dass -0,25 für x steht. (Bin eben Döner holen)
05.10.2011, 21:21	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »

05.10.2011, 21:25	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit anderen Worten bedeutet die Aufgabenstellung: Die Graphen zu f(x) und f'(x) haben an der Stelle x=-0,25 einen gemeinsamen Punkt, sprich es liegen an dieser Stelle dieselben Funktionswerte vor. Bringt dich das weiter ?
05.10.2011, 21:36	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man x in f(x) oder f´(x) einsetzen und nach k auflösen.. hätte da aber ein Problem, da man dann den natürlichen Logarithmus braucht und nach meiner Gleichung (die vermutlich falsch ist) auch den ln von -0,25 ziehen müsste, was nicht geht.
05.10.2011, 21:41	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Ansatz lautet also $\begin{eqnarray} f_a(-0.25)=f_a'(-0.25) \end{eqnarray}$ Logarithmieren musst du auch gar nicht weil sich der "e-Term" sowieso wegdividiert.
05.10.2011, 21:53	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, genau, darauf wollte ich hinaus für a ergibt sich -2 Dann soll man zeigen, dass es kein a gibt für das f(x) im Punkt (1\|1) einen Wendepunkt hat. Habe mir überlegt, dass man einfach guckt, ob der Punkt überhaupt auf dem Graphen liegt. Sprich f(1) = $\begin{eqnarray} e^{-a1^2} \end{eqnarray*}$ Das zeigt, dass der Punkt (1\|1) nicht auf dem Graphen von f liegt.
05.10.2011, 22:04	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa ich würd aber noch dabei schreiben, dass nur für a=0 auch 1 als y-Koordinate rauskommen kann, aber laut Voraussetzung ja a>0 gilt.
05.10.2011, 22:04	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, danke!
05.10.2011, 22:06	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte bitte.
06.10.2011, 17:54	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Bjoern zu der Extremstelle der oben genannten Funktion soll eine Funktionsgleichung für die Ortskurve berechnet werden. Max(0\|1) x=1 y= 0 Nun muss ich ja den Wert für den Parameter a bestimmen und diesen für y anstelle des a´s einsetzen, damit ich die Gleichung erhalte. Hier geht das doch irgendwie nicht!?
06.10.2011, 19:34	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Nabend cosenk Bist du sicher, dass diese Ortskurve zu der Schar $\begin{eqnarray} f_a(x)=e^{-ax^2} \end{eqnarray}$ bestimmt werden sollte ? Denn da die Extrempunktkoordinaten eh nicht von a abhängen ist das ja nicht sonderlich spannend. Man könnte höchstens noch y=1 als Gerade angeben, auf der alle Hochpunkte liegen, aber ob das wirklich gemeint war.
06.10.2011, 20:10	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe: Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = e^{-ax^2} \end{eqnarray}$ ist Ihnen gegeben. Gibt es Eiegenschaften (Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen), die für alle Werte von a gelten? Begründen Sie Ihre Ergebnisse, indem Sie Funktionsgleichungen für solche Ortskurven aufstellen. Unsere Lehrerin meinte im Voraus, dass die Lösung $\begin{eqnarray} f(x) = e^{-0,5} \end{eqnarray}$
06.10.2011, 20:38	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa Nullstellen gibts keine, also gibts auch unabhängig von a keine. Bei den Extremstellen kommt kein a vor, also sind auch diese unabhängig von a (passende Ortskurve hatte ich hingeschrieben). Bei den Wendestellen kommt ein a vor, nur bei der y-Koordinate der Wendepunkte kürzt sich das a dann wieder weg und es kommt dieses $\begin{eqnarray} e^{-0.5} \end{eqnarray}$ raus oder schöner geschrieben: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{e}} \end{eqnarray}$ . Egal was man also für a einsetzt, es entsteht immer als y-Koordinate des Wendepunktes $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{e}} \end{eqnarray}$ und folglich liegen alle Wendepunkte auf der Geraden $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{\sqrt{e}} \end{eqnarray}$
06.10.2011, 21:16	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau! aber wie kann ich den für a bestimmen es gilt ja: x = $\begin{eqnarray} \\frac{1}{\sqrt{2a} } \end{eqnarray}$
06.10.2011, 21:19	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
ach ne, es gibt ja keinen Parameter in der y-Koordinate. Daher gilt ja, was du schon sagtest
06.10.2011, 21:21	cosenk	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke nochmal, Bjoern! Du bist ein Mathegenie!
06.10.2011, 21:31	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut mich wenn es dir geholfen hat. Dann bis zum nächsten Mal, aber dann in einem neuen Thread, dieser hier platzt ja schon fast aus allen Nähten.

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